Question

已知函數(shù)y=f（x）是定義域為R的偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時，f（x）=

- 1 4 x2，0≤x≤2 -( 1 2 )x- 3 4 ，x＞2

，若關(guān)于x的方程[f（x）]²+af（x）+

7a

16

=0，a∈R有且僅有8個不同實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系,函數(shù)奇偶性的性質(zhì),根的存在性及根的個數(shù)判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：求出f（x）的單調(diào)性，以及極值和值域，可得要使關(guān)于x的方程[f（x）]²+af（x）+

7a

16

=0，a∈R，有且僅有8個不同實數(shù)根，轉(zhuǎn)化為t²+at+

7a

16

=0的兩根均在（-1，-

3

4

），由二次方程實根的分布，列出不等式組，解得即可．

解答： 解：當(dāng)0≤x≤2時，y=-

1

4

x²遞減，當(dāng)x＞2時，y=-（

1

2

）^x-

3

4

遞增，
由于函數(shù)y=f（x）是定義域為R的偶函數(shù)，
則f（x）在（-∞，-2）和（0，2）上遞減，在（-2，0）和（2，+∞）上遞增，
當(dāng)x=0時，函數(shù)取得極大值0；
當(dāng)x=±2時，取得極小值-1．
當(dāng)0≤x≤2時，y=-

1

4

x²∈[-1，0]．當(dāng)x＞2時，y=-（

1

2

）^x-

3

4

∈[-1，-

3

4

）
要使關(guān)于x的方程[f（x）]²+af（x）+

7a

16

=0，a∈R，有且僅有8個不同實數(shù)根，
設(shè)t=f（x），則t²+at+

7a

16

=0的兩根均在（-1，-

3

4

）．
則有

a2- 7a 4 ＞0 -1＜- a 2 ＜- 3 4 1-a+ 7a 16 ＞0 9 16 - 3a 4 + 7a 16 ＞0

，即為

a＞ 7 4 或a＜0 3 2 ＜a＜2 a＜ 16 9 a＜ 9 5

，
解得

7

4

＜a＜

16

9

．
即有實數(shù)a的取值范圍是（

7

4

，

16

9

）．
故答案為：（

7

4

，

16

9

）．

點評：本題考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的運用，主要考查方程與函數(shù)的零點的關(guān)系，掌握二次方程實根的分別是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．