Question

13．自原點(diǎn)O作圓（x-1）²+y²=1的不重合的兩弦OA，OB，且|OA|•|OB|=2，若不論A，B兩點(diǎn)的位置怎樣，直線(xiàn)AB恒切與一個(gè)定圓，請(qǐng)求出定圓的方程．

Answer 1

分析 設(shè)AB邊上的高為h，則△AOB的面積S=$\frac{1}{2}$|AB|•h，再利用S=$\frac{1}{2}$|OA|•|OB|•sin∠AOB，即可得到結(jié)論．

解答 解：由題意，圓（x-1）²+y²=1是△AOB的外接圓，半徑為1，根據(jù)正弦定理：|AB|=2Rsin∠AOB=2sin∠AOB，
設(shè)AB邊上的高為h，則△AOB的面積$S=\frac{1}{2}|AB|•h=h•sin∠AOB$
∵$S=\frac{1}{2}|OA|•|OB|•sin∠AOB$=$\frac{1}{2}×2×sin∠AOB$
∴h=1為定值，
即O到AB的距離為定值1，
∴直線(xiàn)AB與以原點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓相切，圓的方程為x²+y²=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，考查圓的方程，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．