Question

在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為矩形，平面ABEF⊥平面ABCD， EF // AB，∠BAF=90º， AD= 2，AB=AF=2EF =1，點P在棱DF上．

（1）若P是DF的中點， 求異面直線BE與CP所成角的余弦值；

（2）若二面角D-AP-C的余弦值為，求PF的長度．

 

Answer 1

解析：（1）因為∠BAF=90º，所以AF⊥AB，    

因為 平面ABEF⊥平面ABCD，且平面ABEF ∩平面ABCD= AB， 

所以AF⊥平面ABCD，因為四邊形ABCD為矩形，

所以以A為坐標(biāo)原點，AB，AD，AF分別

為x，y，z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系．

所以 ，，，．

所以 ，，

所以，

即異面直線BE與CP所成角的余弦值為． ----6分                                             

（2）因為AB⊥平面ADF，所以平面APF的法向量為．

設(shè)P點坐標(biāo)為，在平面APC中，，，

所以 平面APC的法向量為，  

所以，

解得，或（舍）．   所以．       -------------------------12分