Question

1．已知函數(shù)f（x）=lg（ax²+2x+1）．
（1）若f（x）的定義域是R，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）若a≠0且f（x）的值域是R，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)f（x）的定義域為R，便知不等式ax²+2x+1＞0的解集為R，并可判斷a＞0，同時還滿足△＜0，這樣即可得出實數(shù)a的取值范圍；
（2）根據(jù)a≠0且f（x）的值域是R便知函數(shù)ax²+2x+1為二次函數(shù)，并且其值域真包含（0，+∞），這樣便有$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△≥0}\end{array}\right.$，解該不等式組即得實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）f（x）的定義域為R，則不等式ax²+2x+1＞0的解集為R；
①若a=0，2x+1＞0的解集不為R；
②若a≠0，則：$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△=4-4a＜0}\end{array}\right.$；
∴a＞1；
∴實數(shù)a的取值范圍為：（1，+∞）；
（2）若a≠0且f（x）的值域是R，則：二次函數(shù)ax²+2x+1的值域真包含（0，+∞）；
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△=4-4a≥0}\end{array}\right.$；
∴0＜a≤1；
∴實數(shù)a的取值范圍為：（0，1]．

點評 考查對數(shù)函數(shù)的定義域，及值域，一元二次不等式的解集為R時，判別式△及二次項系數(shù)的取值情況，以及真子集的概念．