Question

16．已知x、y滿足$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{25}$=1，求y-3x的最大值和最小值．

Answer 1

分析 設(shè)y-3x=t，可得出直線y=3x+t與橢圓$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{25}$=1有公共點(diǎn)，聯(lián)立直線與橢圓方程，得到方程組有解即可解得t的范圍，求出t的最大值與最小值，即為x+y的最大值與最小值．

解答 解：設(shè)y-3x=t，由于x、y滿足$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{25}$=1，
則直線y=3x+t與橢圓$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{25}$=1有公共點(diǎn)，故方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=3x+t}\\{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{25}=1}\end{array}\right.$ 有解，
將直線方程代入橢圓方程，整理得到169x²+96t•x+16（t²-25）=0，
則△=（96t）²-4×169×16（t²-25）=-1600t²+270400≥0，解得-13≤t≤13，
故t=y-3x的最大值和最小值分別為13與-13．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了直線與橢圓的位置關(guān)系，直線與橢圓的位置關(guān)系由只限于橢圓方程聯(lián)立的方程組解的個(gè)數(shù)來(lái)判斷．