Question

【題目】已知函數(shù)f（x）= +lnx，其中a為常數(shù)，e為自然對數(shù)的底數(shù)．
（I）若a=1，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（II）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上為單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）若a=1時，f（x）=3x﹣2x2+lnx，定義域為（0，+∞） = （x＞0
令f'（x）＞0，得x∈（0，1），令f'（x）＜0，得x∈（1，+∞），
函數(shù)f（x）=3x﹣2x2+lnx單調(diào)增區(qū)間為（0，1），
函數(shù)f（x）=3x﹣2x2+lnx單調(diào)減區(qū)間為（1，+∞）．
（Ⅱ）. ，
若函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上為單調(diào)函數(shù)，
即 在[1，2]
或 恒成立．
或
即 或 在[1，2]恒成立．
即 或
令 ，因函數(shù)h（x）在[1，2]上單調(diào)遞增．
所以 或 或 ，解得a＜0或 或a≥1
【解析】（I）由a=1得f（x）的解析式，求導(dǎo)，令f′（x）＞0，令f′（x）＜0分別得出x的取值范圍，即f（x）的單調(diào)區(qū)間；（II）由函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上為單調(diào)函數(shù)，得f′（x）≥0或f′（x）≤0，分離出a，把右邊看為函數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)性得最值，得關(guān)于a的不等式，求解得a的取值范圍．
【考點精析】關(guān)于本題考查的利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，需要了解一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減才能得出正確答案．