Question

7．設(shè)S_n是數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，且a₁=1，a_n+1=-S_nS_n+1，則使$\frac{n{{S}_{n}}^{2}}{1+10{{S}_{n}}^{2}}$取得最大值時(shí)n的值為3．

Answer 1

分析 a₁=1，a_n+1=-S_nS_n+1，可得$\frac{1}{{S}_{n+1}}$-$\frac{1}{{S}_{n}}$=1，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得S_n=$\frac{1}{n}$．于是$\frac{n{{S}_{n}}^{2}}{1+10{{S}_{n}}^{2}}$=$\frac{1}{n+\frac{10}{n}}$=g（n），考查函數(shù)f（x）=$x+\frac{10}{x}$的單調(diào)性，x＞0，即可得出．

解答 解：∵a₁=1，a_n+1=-S_nS_n+1，
∴S_n+1-S_n=-S_nS_n+1，∴$\frac{1}{{S}_{n+1}}$-$\frac{1}{{S}_{n}}$=1，
∴數(shù)列$\{\frac{1}{{S}_{n}}\}$是等差數(shù)列，首項(xiàng)為1，公差為1．
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=1+（n-1）=n．
∴S_n=$\frac{1}{n}$．
∴$\frac{n{{S}_{n}}^{2}}{1+10{{S}_{n}}^{2}}$=$\frac{n×\frac{1}{{n}^{2}}}{1+10×\frac{1}{{n}^{2}}}$=$\frac{n}{{n}^{2}+10}$=$\frac{1}{n+\frac{10}{n}}$=g（n），
考查函數(shù)f（x）=$x+\frac{10}{x}$的單調(diào)性，x＞0，
可知：函數(shù)f（x）在$（0，\sqrt{10}）$上單調(diào)遞減，在$（\sqrt{10}，+∞）$上單調(diào)遞增．
又g（3）=$\frac{3}{19}$，g（4）=$\frac{2}{13}$，∴g（3）＞g（4）．
∴使$\frac{n{{S}_{n}}^{2}}{1+10{{S}_{n}}^{2}}$取得最大值時(shí)n的值為3．
故答案為：3．

點(diǎn)評 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等差數(shù)列通項(xiàng)公式、數(shù)列的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．