Question

（本小題滿分14分）已知函數(shù)，若在區(qū)間內(nèi)有且僅有一個，使得成立，則稱函數(shù)具有性質(zhì)．

（Ⅰ）若，判斷是否具有性質(zhì)，說明理由；

（Ⅱ）若函數(shù)具有性質(zhì)，試求實數(shù)的取值范圍．

 

Answer 1

（Ⅰ） 具有性質(zhì); （Ⅱ）或或

【解析】

試題分析：（Ⅰ）具有性質(zhì)．若存在，使得，解方程求出方程的根，即可證得；（Ⅱ）依題意，若函數(shù)具有性質(zhì)，即方程在上有且只有一個實根．設，即在上有且只有一個零點．討論的取值范圍，結合零點存在定理，即可得到的范圍．

試題解析：（Ⅰ）具有性質(zhì)．

依題意，若存在，使，則時有，即，，．由于，所以．又因為區(qū)間內(nèi)有且僅有一個，使成立，所以 具有性質(zhì) 5分

（Ⅱ）依題意，若函數(shù)具有性質(zhì)，即方程 在上有且只有一個實根．

設，即在上有且只有一個零點．

解法一：

（1）當時，即時，可得在上為增函數(shù)，

只需解得交集得．

（2）當時，即時，若使函數(shù)在上有且只有一個零點，需考慮以下3種情況：

（ⅰ）時，在上有且只有一個零點，符合題意．

（ⅱ）當即時，需解得交集得．

（ⅲ）當時，即時，需解得交集得．

（3）當時，即時，可得在上為減函數(shù)

只需解得交集得．

綜上所述，若函數(shù)具有性質(zhì)，實數(shù)的取值范圍是或或 14分

 

解法二：

依題意，

（1）由得，，解得或．

同時需要考慮以下三種情況：

（2）由解得．

（3）由解得不等式組無解．

（4）由解得解得．

綜上所述，若函數(shù)具有性質(zhì)，實數(shù)的取值范圍是或

或 14分．

考點：1．零點存在定理；2．分類討論的思想．