Question

已知函數(shù)f(x)=ax+

x-2

x+1

(a＞1)，證明：函數(shù)f（x）在（-1，+∞）上為增函數(shù)．

Answer 1

分析：函數(shù)f(x)=ax+

x-2

x+1

(a＞1)=ax+1 - 

3

x+1

，設(shè) x₂＞x₁＞-1，化簡f（x₂）-f（x₁） 等于（ax2-ax1 ）+

3(x2  -x 1)

(x1+1)(x2+1)

，大于零，即f（x₂）＞f（x₁），
從而可得函數(shù)f（x）在（-1，+∞）上為增函數(shù)．

解答：證明：∵函數(shù)f(x)=ax+

x-2

x+1

(a＞1)=ax+1 - 

3

x+1

，設(shè) x₂＞x₁＞-1，
f（x₂）-f（x₁）=ax2+1 - 

3

x2+1

-（ax1+1 - 

3

x1+1

 ）=（ax2-ax1 ）+（

3

x1+1

-

3

x2+1

） 
=（ax2-ax1 ）+

3(x2  -x 1)

(x1+1)(x2+1)

．
由 x₂＞x₁＞-1 可得，（ax2-ax1 ）＞0，

3(x2  -x 1)

(x1+1)(x2+1)

＞0，故f（x₂）-f（x₁）＞0，即 f（x₂）＞f（x₁），
故函數(shù)f（x）在（-1，+∞）上為增函數(shù)．

點評：本題主要考查增函數(shù)的定義，證明一個函數(shù)在某區(qū)間上是增函數(shù)的方法，屬于基礎(chǔ)題．