Question

曲線y=x²+1在點(diǎn)（1，2）處的切線為l，則直線l上的任意點(diǎn)P與圓x²+y²+4x+3=0上的任意點(diǎn)Q之間的最近距離是（　　）

• A、

  4 5

  5

  -1
• B、

  2 5

  5

  -1
• C、

  5

  -1
• D、2

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,點(diǎn)到直線的距離公式

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：利用導(dǎo)數(shù)求出曲線y=x²+1在點(diǎn)（1，2）處的切線方程，化圓的一般方程為標(biāo)準(zhǔn)式，求出圓心坐標(biāo)和半徑，由圓心到直線的距離減去圓的半徑得答案．

解答：解：由y=x²+1，得y′=2x，
∴y′|_x=1=2，
∴曲線y=x²+1在點(diǎn)（1，2）處的切線l的方程為：y-2=2（x-1），
即2x-y=0．
又圓x²+y²+4x+3=0的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x+2）²+y²=1．
圓心坐標(biāo)為（-2，0），半徑為1，
∴圓心到直線l的距離為

|-2×2|

5

=

4 5

5

，
則直線l上的任意點(diǎn)P與圓x²+y²+4x+3=0上的任意點(diǎn)Q之間的最近距離是

4 5

5

-1．
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)處的切線方程，考查了點(diǎn)到直線的距離公式，是中檔題．