Question

1．已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b，b＞0）的離心率為$\frac{{\sqrt{5}}}{2}$，則橢圓$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1的離心率為（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$

Answer 1

分析 根據(jù)雙曲線的離心率建立方程關(guān)系求出a，b的關(guān)系，然后結(jié)合橢圓離心率的定義進行求解即可．

解答 解：在雙曲線中c²=a²+b²，
∵雙曲線的離心率為$\frac{{\sqrt{5}}}{2}$，
∴$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{{a}^{2}+^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{5}{4}$，即4a²+4b²=5a²，
即a²=4b²，則c²=a²-b²=4b²-b²=3b²，
則e²=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{3^{2}}{4^{2}}$=$\frac{3}{4}$，即e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故橢圓的離心率是$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
故選：C．

點評 本題主要考查雙曲線和橢圓離心率的計算，根據(jù)條件建立方程求出a，c的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．注意橢圓和雙曲線a，c關(guān)系的不同．