Question

16．如圖所示，某居民小區(qū)內(nèi)建一塊直角三角形草坪ABC，直角邊AB=40米，AC=40$\sqrt{3}$米，扇形花壇ADE是草坪的一部分，其半徑為20米，為了便于居民平時(shí)休閑散步，該小區(qū)物業(yè)管理公司將在這塊草坪內(nèi)鋪設(shè)兩條小路OM和ON，考慮到小區(qū)整體規(guī)劃，要求M、N在斜邊BC上，O在弧$\widehat{DE}$上，OM∥AB，ON∥AC，．
（1）設(shè)∠OAE=θ，記f（θ）=OM+ON，求f（θ）的表達(dá)式，并求出此函數(shù)的定義域；
（2）經(jīng)核算，兩條路每米鋪設(shè)費(fèi)用均為400元，如何設(shè)計(jì)θ的大小使鋪路的總費(fèi)用最低？并求出最低總費(fèi)用．

Answer 1

分析 （1）過O、N作AC的垂線交AC與F、G兩點(diǎn)，求出OM，ON，即可求出f（θ）的表達(dá)式，并求出此函數(shù)的定義域；
（2）利用輔助角公式化簡，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）如圖過O、N作AC的垂線交AC與F、G兩點(diǎn)，則AF=20cosθ，OF=NG=20sinθ，CG=20$\sqrt{3}sinθ$，
∴ON=$40\sqrt{3}-20（\sqrt{3}sinθ+cosθ）$，OM═$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$ON，
則l=（1+$\frac{\sqrt{3}}{3}$）[$40\sqrt{3}-20（\sqrt{3}sinθ+cosθ）$]，$θ∈[{0，\frac{π}{2}}]$，…8分
（2）$l=（{1+\frac{{\sqrt{3}}}{3}}）[40\sqrt{3}-40sin（θ+\frac{π}{6}）]$，…12分
∵$θ∈[{0，\frac{π}{2}}]$，
∴$θ+\frac{π}{6}∈[{\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}}]$，
∴$當(dāng)θ+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$，即$θ=\frac{π}{3}$，總費(fèi)用最少為$\frac{32000}{3}\sqrt{3}$…16分．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了借助于三角函數(shù)解三角形在實(shí)際問題中的應(yīng)用，考查了利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力，及推理運(yùn)算的能力．