【題目】已知定直線l:y=x+3,定點A(2,1),以坐標(biāo)軸為對稱軸的橢圓C過點A且與l相切.
(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)橢圓的弦AP,AQ的中點分別為M,N,若MN平行于l,則OM,ON斜率之和是否為定值?若是定值,請求出該定值;若不是定值請說明理由.
【答案】解:(Ⅰ)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n) 橢圓C過點A,所以4m+n①,
將y=x+3代入橢圓方程化簡得:(m+n)x2+6nx+9n﹣1=0,
因為直線l與橢圓C相切,所以△=(6n)2﹣4(m+n)(9n﹣1)=0②,
解①②可得, ,
所以橢圓方程為 ;
(Ⅱ)設(shè)點P(x1 , y1),Q(x2 , y2),則有 ,
由題意可知PQ∥MN,所以kPQ=kMN=1,設(shè)直線PQ的方程為y=x+t,
代入橢圓方程并化簡得:3x2+4tx+2t2﹣6=0
由題意可知 ③
通分后可變形得到
將③式代入分子
所以O(shè)M,ON斜率之和為定值0
【解析】(Ⅰ)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),橢圓C過點A,所以4m+n①,將y=x+3代入橢圓方程化簡得:(m+n)x2+6nx+9n﹣1=0,由△=(6n)2﹣4(m+n)(9n﹣1)=0②, 可得, ,即可得橢圓方程.(Ⅱ)設(shè)點P(x1 , y1),Q(x2 , y2),可知PQ∥MN,所以kPQ=kMN=1, 設(shè)直線PQ的方程為y=x+t,代入橢圓方程并化簡得:3x2+4tx+2t2﹣6=0
由題意可知 ,利用韋達(dá)定理可計算
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的相關(guān)知識,掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點在x軸:,焦點在y軸:.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】有件產(chǎn)品,其中件是次品,其余都是合格品,現(xiàn)不放回的從中依次抽件.求:(1)第一次抽到次品的概率;
(2)第一次和第二次都抽到次品的概率;
(3)在第一次抽到次品的條件下,第二次抽到次品的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知向量 =(sinx,﹣1), =(2cosx,1).
(1)若 ∥ ,求tanx的值;
(2)若 ⊥ ,又x∈[π,2π],求sinx+cosx的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)﹣ln(1﹣x),給出以下四個命題: ①x∈(﹣1,1),有f(﹣x)=﹣f(x);
②x1 , x2∈(﹣1,1)且x1≠x2 , 有 ;
③x1 , x2∈(0,1),有 ;
④x∈(﹣1,1),|f(x)|≥2|x|.
其中所有真命題的序號是( )
A.①②
B.③④
C.①②③
D.①②③④
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】 由經(jīng)驗得知,在某商場付款處排隊等候付款的人數(shù)及概率如下表
排隊人數(shù) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5人以上 |
概率 | 0.1 | 0.16 | 0.3 | 0.3 | 0.1 | 0.04 |
(1)至多有2人排隊的概率是多少?
(2)至少有2人排隊的概率是多少?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知正實數(shù)a,b,c,函數(shù)f(x)=|x+a||x+b|. (Ⅰ)若a=1,b=3,解關(guān)于x的不等式f(x)+x+1<0;
(Ⅱ)求證:f(1)f(c)≥16abc.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知關(guān)于不等式的解集為.
(1)當(dāng)為空集時,求的取值范圍;
(2)在(1)的條件下,求的最小值;
(3)當(dāng)不為空集,且時,求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)的圖象與函數(shù)h(x)=x++2的圖象關(guān)于點A(0,1)對稱.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)若g(x)=f(x)+,g(x)在區(qū)間(0,2]上的值不小于6,求實數(shù)a的取值范圍.
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