已知點G是△ABC的重心，A(0, －1)，B(0, 1)，在x軸上有一點M，滿足||=||， (∈R)．

⑴求點C的軌跡方程；

⑵若斜率為k的直線l與點C的軌跡交于不同兩點P，Q，且滿足||=||，試求k的取值范圍．

⑴設(shè)C(x, y)，則G(,)．∵(∈R)，∴GM//AB,

又M是x軸上一點，則M(, 0)．又||=||，

∴，

整理得，即為曲線C的方程．

⑵①當(dāng)k=0時，l和橢圓C有不同兩交點P，Q，根據(jù)橢圓對稱性有||=||．

②當(dāng)k≠0時，可設(shè)l的方程為y=kx＋m，

聯(lián)立方程組    y=kx＋m

消去y，整理行(1＋3k2)x2＋6kmx＋3(m2－1)=0（*）

∵直線l和橢圓C交于不同兩點，

∴△=(6km)2－4(1＋3k2)×( m2－1)＞0，即1＋3k2－m2＞0．         (1)   

設(shè)P(x1, y1)，Q(x2, y2)，則x1, x2是方程（*）的兩相異實根，∴x1＋x2=－

則PQ的中點N(x0, y0)的坐標(biāo)是x0==－，y0= k x0＋m=，

即N(－, )，

又||=||，∴⊥，

∴k·kAN=k·=－1，∴m=.

將m=代入(1)式,得 1＋3k2－()2＞0（k≠0），

即k2＜1，∴k∈(－1, 0)∪(0, 1)．

綜合①②得，k的取值范圍是(－1, 1)．


解析:

本題依托向量給出等量關(guān)系，既考查向量的模、共線等基礎(chǔ)知識，又考查動點的軌跡，直線與橢圓的位置關(guān)系.通過向量和解析幾何間的聯(lián)系，陳題新組，考查基礎(chǔ)知識和基本方法.按照求軌跡方程的方法步驟，把向量問題坐標(biāo)化，幾何問題代數(shù)化. 對題目的要求：有較大的難度，有特別的解題思路、演變角度，要有一定的梯度.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知點G是△ABC的重心，A（0，-1），B（0，1）．在x軸上有一點M，滿足|
MA
|=|
MC
|，
GM
=λ
AB
(λ∈R)（若△ABC的頂點坐標(biāo)為A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），則該三角形的重心坐標(biāo)為G(
x1+x2+x3
3
，
y1+y2+y3
3
)）．
（1）求點C的軌跡E的方程．
（2）設(shè)（1）中曲線E的左、右焦點分別為F1、F2，過點F2的直線l交曲線E于P、Q兩點，求△F1PQ面積的最大值，并求出取最大值時直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知點G是△ABC的重心，
AG
=λ
AB
+μ
AC
(λ，μ∈R)，那么λ+μ=
 
；若∠A=120°，
AB
•
AC
=-2，則|
AG
|的最小值是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知點G是△ABC的重心，點P是△GBC內(nèi)一點，若
AP
=λ
AB
+μ
AC
，則λ+μ的取值范圍是（　�。�
A、(
1
2
，1)
B、(
2
3
，1)
C、(1，
3
2
)
D、（1，2）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（文）已知奇函數(shù)f（x）滿足f（x+3）=f（x），當(dāng)x∈（0，1）時，函數(shù)f（x）=3x-1，則f(log
1
3
36)=
 

（理）已知點G是△ABC的重心，O是空間任意一點，若
OA
+
OB
+
OC
=λ
OG
，則λ的值是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

給出下列六個命題：
①sin1＜3sin
1
3
＜5sin
1
5

②若f'（x0）=0，則函數(shù)y=f（x）在x=x0取得極值；
③“?x0∈R，使得ex0＜0”的否定是：“?x∈R，均有ex≥0”；
④已知點G是△ABC的重心，過G作直線與AB，AC兩邊分別交于M，N兩點，且
AM
=x
AB
，
AN
=y
AC
，則
1
x
+
1
y
=3；
⑤已知a=
∫
π
0
sinxdx，點(
3
，a)到直線
3
x-y+1=0的距離為1；
⑥若|x+3|+|x-1|≤a2-3a，對任意的實數(shù)x恒成立，則實數(shù)a≤-1，或a≥4；
其中真命題是
①③④⑤
①③④⑤
（把你認(rèn)為真命題序號都填在橫線上）

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同步練習(xí)冊答案