Question

（2011•重慶三模）已知

a

=(sin2x-cos2x)，

b

=(sin2x，

3

sin2x)，若函數(shù)f(x)=

a

•

b

．
（I）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（II）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析：（I）利用平面向量的數(shù)量積運算法則計算

a

•

b

，列出函數(shù)解析式，再利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式化簡，最后利用特殊角的三角函數(shù)值及兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，找出ω的值，代入周期公式T=

2π

ω

，即可求出函數(shù)的最小正周期；
（II）根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間[2kπ+

π

2

，2kπ+

3π

2

]，列出關(guān)于x的不等式組，求出不等式組的解集即為函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．

解答：解：（I）函數(shù)f（x）=sin²2x-

3

sin2xcos2x
=

1-cos4x

2

-

3

2

sin4x=

1

2

-sin（4x+

π

6

），
∵ω=4，∴T=

2π

4

=

π

2

；
（II）∵2kπ+

π

2

＜4x+

π

6

＜2kπ+

3π

2

，即

kπ

2

+

π

12

＜x＜

kπ

2

+

π

3

，k∈Z時，
正弦函數(shù)sin（4x+

π

6

）單調(diào)遞減，此時f（x）單調(diào)遞增，
則f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（

kπ

2

+

π

12

，

kπ

2

+

π

3

），k∈Z．

點評：此題考查了三角函數(shù)的周期性及其求法，涉及的知識有：平面向量的數(shù)量積運算，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，以及正弦函數(shù)的單調(diào)性，其中利用三角函數(shù)的恒等變形把函數(shù)解析式化為一個角的正弦函數(shù)是解本題的關(guān)鍵．