Question

【題目】記無窮數(shù)列的前n項(xiàng)，，…，的最大項(xiàng)為，第n項(xiàng)之后的各項(xiàng)，，…的最小項(xiàng)為，．

（1）若數(shù)列的通項(xiàng)公式為，寫出，，；

（2）若數(shù)列的通項(xiàng)公式為，判斷是否為等差數(shù)列，若是，求出公差；若不是，請(qǐng)說明理由；

（3）若數(shù)列為公差大于零的等差數(shù)列，求證：是等差數(shù)列．

Answer 1

【答案】（1），，分別為；（2）是等差數(shù)列，公差；（3）詳見解析.

【解析】

（1）把代入通項(xiàng)公式，根據(jù)可求，，；

（2）先求出的通項(xiàng)公式，然后進(jìn)行判定；

（3）設(shè)出的通項(xiàng)公式，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性進(jìn)行證明.

（1）由題知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，

可知，，，且當(dāng)時(shí)是單調(diào)遞增數(shù)列，

所以，，，

所以，，分別為．

（2）由題知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，

所以數(shù)列是單調(diào)遞減的數(shù)列，且，

由題知，，

因?yàn)?/span>，

故數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，

所以當(dāng)時(shí)，，，

故，

所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是，

即數(shù)列是等差數(shù)列，公差．

（3）由題知數(shù)列為公差大于零的等差數(shù)列，

故設(shè)且公差，

當(dāng)時(shí)，有，

整理得，

若，則有，

故，

因?yàn)?/span>，所以當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，

類似的可以證明，

因?yàn)?/span>，

故有，

故數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，

所以當(dāng)時(shí)，，，

故，

所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是，

即數(shù)列是等差數(shù)列，公差為．