Question

11．已知函數(shù)f（x）=x-1+$\frac{a}{{e}^{x}}$．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x） 在點(diǎn)（1，f（1））處的切線平行于x軸，求a的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的極值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出，
（Ⅱ）先求導(dǎo)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)極值的關(guān)系即可求出．

解答 解：（Ⅰ）由f（x）=x-1+$\frac{a}{{e}^{x}}$，得f′（x）=1-$\frac{a}{{e}^{x}}$  
由函數(shù)f（x） 在點(diǎn)（1，f（1））處的切線平行于x軸，得  f′（1）=1-$\frac{a}{e}$=0，解得a=e 
（Ⅱ）f′（x）=1-$\frac{a}{{e}^{x}}$  
①當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在R上為增函數(shù)，f（x）無極值  
②當(dāng)a＞0時(shí)，令f′（x）=0，解得x=lna，
∴x∈（-∞，lna）時(shí)，f′（x）＞0，x∈（lna，+∞）時(shí)，f′（x）＜0，
∴函數(shù)f（x）在（-∞，lna）上單調(diào)遞減；在（lna，+∞）上單調(diào)遞增．   
∴f（x）在x=lna處取得極小值，且極小值為f（lna）=lna，無極大值
綜上，當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f（x）無極值；
當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）在x=lna處取得極小值lna，無極大值．

點(diǎn)評 本題考查了導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的極值的關(guān)系，關(guān)鍵是分類討論，屬于中檔題．