Question

已知函數(shù)f(x)＝a^x＋(a>1)．

(1)求證：函數(shù)f(x)在(－1，＋∞)上為增函數(shù)；

(2)求證：方程f(x)＝0沒有負(fù)根．

Answer 1

[證明]　(1)解法1：任取x₁，x₂∈(－1，＋∞)，不妨設(shè)x₁<x₂，則x₂－x₁>0，ax₂－x₁>1且ax₁>0，

∴ax₂－ax₁＝ax₁(ax₂－x₁－1)>0.

又∵x₁＋1>0，x₂＋1>0，

求導(dǎo)數(shù)得f′(x)＝a^xlna＋，

∵a>1，∴當(dāng)x>－1時(shí)，a^xlna>0，>0，

∴f′(x)>0在(－1，＋∞)上恒成立，

f(x)在(－1，＋∞)上為增函數(shù)．

(2)解法1：設(shè)存在x₀<0(x₀≠－1)滿足f(x₀)＝0，

則ax₀＝－，且0<ax₀<1，

∴0<－<1，即<x₀<2，

與假設(shè)x₀<0矛盾，故方程f(x)＝0沒有負(fù)根．

解法2：設(shè)存在x₀<0(x₀≠－1)滿足f(x₀)＝0，

①若－1<x₀<0，則<－2，ax₀<1，

∴f(x₀)<－1與f(x₀)＝0矛盾．

②若x₀<－1，則>1，ax₀>0，

∴f(x₀)>1與f(x₀)＝0矛盾．

故方程f(x)＝0沒有負(fù)根.