Question

【題目】在平面立角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)的圓的圓心在軸上，且與過原點(diǎn)傾斜角為的直線相切.

(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)點(diǎn)在直線上，過點(diǎn)作圓的切線、，切點(diǎn)分別為、，求經(jīng)過、、、四點(diǎn)的圓所過的定點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）（2）經(jīng)過、、、四點(diǎn)的圓所過定點(diǎn)的坐標(biāo)為、

【解析】

(1)先算出直線方程，根據(jù)相切和過點(diǎn)，圓心在軸上聯(lián)立方程解得答案.

(2) 取線段的中點(diǎn) ，經(jīng)過、、、四點(diǎn)的圓是以線段為直徑的圓，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，將圓方程表示出來(lái)，聯(lián)立方程組解得答案.

(1)由題意知，直線的方程為，整理為一般方程可得

由圓的圓心在軸上，可設(shè)圓的方程為，

由題意有，解得：，，

故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

(2)由圓的幾何性質(zhì)知，，，取線段的中點(diǎn)，由直角三角形的性質(zhì)可知，故經(jīng)過、、、四點(diǎn)的圓是以線段為直徑的圓，

設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為

有

則以為直徑的圓的方程為：，整理為

可得.

令，解得或，

故經(jīng)過、、、四點(diǎn)的圓所過定點(diǎn)的坐標(biāo)為、.