【題目】已知函數(shù)f(x)=aex圖象在x=0處的切線與函數(shù)g(x)=lnx圖象在x=1處的切線互相平行.
(Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)設(shè)直線x=t(t>0)分別與曲線y=f(x)和y=g(x)交于P,Q兩點(diǎn),求證:|PQ|>2.
【答案】(Ⅰ)a=1;(Ⅱ)見解析
【解析】
(Ⅰ)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知,在某點(diǎn)處的切線的斜率即為該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值;
(Ⅱ)由題意|PQ|=|et-lnt|,構(gòu)造新函數(shù)h(x)=ex-lnx,x>0,,利用導(dǎo)數(shù)求解新函數(shù)的最小值,可證結(jié)論.
(Ⅰ)由f(x)=aex,得f(x)=aex,所以f(0)=a,
由g(x)=lnx,得,所以g(1)=1,由已知f(0)=g(1),得a=1,
經(jīng)檢驗(yàn),a=1符合題意.
(Ⅱ)由題意|PQ|=|et-lnt|,t>0,設(shè)h(x)=ex-lnx,x>0,
則,設(shè),
則,所以(x)在區(qū)間(0,+∞)單調(diào)遞增,
又(1)=e-1>0,,所以(x)在區(qū)間(0,+∞)存在唯一零點(diǎn),
設(shè)零點(diǎn)為x0,則,且.
當(dāng)x∈(0,x0)時(shí),h(x)<0;當(dāng)x∈(x0,+∞),h(x)>0.
所以,函數(shù)h(x)在(0,x0)遞減,在(x0,+∞)遞增,
,由,得lnx0=-x0,
所以,由于,h(x0)>2.
從而h(x)>2,即ex-lnx>2,也就是et-lnt>2,|et-lnt|>2,
即|PQ|>2,命題得證.
年級(jí) | 高中課程 | 年級(jí) | 初中課程 |
高一 | 高一免費(fèi)課程推薦! | 初一 | 初一免費(fèi)課程推薦! |
高二 | 高二免費(fèi)課程推薦! | 初二 | 初二免費(fèi)課程推薦! |
高三 | 高三免費(fèi)課程推薦! | 初三 | 初三免費(fèi)課程推薦! |
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),.
(1)若,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)設(shè)函數(shù)的極大值為,極小值為,求的取值范圍.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知單調(diào)等比數(shù)列中,首項(xiàng)為 ,其前n項(xiàng)和是,且成等差數(shù)列,數(shù)列滿足條件
(Ⅰ) 求數(shù)列、的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ) 設(shè) ,記數(shù)列的前項(xiàng)和 .
①求 ;②求正整數(shù),使得對(duì)任意,均有 .
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】
某學(xué)校高一數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)學(xué)生每周平均體育鍛煉小時(shí)數(shù)與體育成績優(yōu)秀(體育成績滿分100分,不低于85分稱優(yōu)秀)人數(shù)之間的關(guān)系進(jìn)行分析研究,他們從本校初二,初三,高一,高二,高三年級(jí)各隨機(jī)抽取了40名學(xué)生,記錄并整理了這些學(xué)生周平均體育鍛煉小時(shí)數(shù)與體育成績優(yōu)秀人數(shù),得到如下數(shù)據(jù)表:
初二 | 初三 | 高一 | 高二 | 高三 | |
周平均體育鍛煉小時(shí)數(shù)工(單位:小時(shí)) | 14 | 11 | 13 | 12 | 9 |
體育成績優(yōu)秀人數(shù)y(單位:人) | 35 | 26 | 32 | 26 | 19 |
該興趣小組確定的研究方案是:先從這5組數(shù)據(jù)中選取3組數(shù)據(jù)求線性回歸方程,再用剩下的2組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn).
(1)若選取的是初三,高一,高二的3組數(shù)據(jù),請(qǐng)根據(jù)這3組數(shù)據(jù),求出y關(guān)于x的線性回歸方程;
(2)若由線性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與所選取的檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差均不超過1,則認(rèn)為得到的線性回歸方程是可靠的,試問(1)中所得到的線性回歸方程是否可靠?
參考數(shù)據(jù):,.
參考公式:,.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,中,,,若以,為焦點(diǎn)的雙曲線的漸近線經(jīng)過點(diǎn),則該雙曲線的離心率為
A. B.
C. D.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某大學(xué)餐飲中心為了了解新生的飲食習(xí)慣,在全校一年級(jí)學(xué)生中進(jìn)行了抽樣調(diào)查,調(diào)查結(jié)果如下表所示:
喜歡甜品 | 不喜歡甜品 | 合計(jì) | |
南方學(xué)生 | 60 | 20 | 80 |
北方學(xué)生 | 10 | 10 | 20 |
合計(jì) | 70 | 30 | 100 |
根據(jù)表中數(shù)據(jù),問是否有的把握認(rèn)為“南方學(xué)生和北方學(xué)生在選用甜品的飲食習(xí)慣方面有差異”;
已知在被調(diào)查的北方學(xué)生中有5名數(shù)學(xué)系的學(xué)生,其中2名喜歡甜品,現(xiàn)在從這5名學(xué)生中隨機(jī)抽取3人,求至多有1人喜歡甜品的概率.
附:
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】隨著高考制度的改革,某省即將實(shí)施“語數(shù)外+3”新高考的方案,2019年秋季入學(xué)的高一新生將面臨從物理(物)、化學(xué)(化)、生物(生)、政治(政)、歷史(歷)、地理(地)六科中任選三科(共20種選法)作為自己將來高考“語數(shù)外+3”新高考方案中的“3”某市為了順利地迎接新高考改革,在某高中200名學(xué)生中進(jìn)行了“學(xué)生模擬選科數(shù)據(jù)”調(diào)查,每個(gè)學(xué)生只能從表格中的20種課程組合中選擇一種學(xué)習(xí)模擬選課數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下表:
序號(hào) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
組合學(xué)科 | 物化生 | 物化政 | 物化歷 | 物化地 | 物生政 | 物生歷 | 物生地 | 物政歷 | 物政地 | 物歷地 |
人數(shù) | 20人 | 5人 | 10人 | 10人 | 5人 | 15人 | 10人 | 5人 | 0人 | 5人 |
11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 合計(jì) |
化生政 | 化生歷 | 化生地 | 化政歷 | 化政地 | 化歷地 | 生政歷 | 生政地 | 生歷地 | 政歷地 | |
5人 | … | … | … | … | … | 10人 | 5人 | … | 25人 | 200人 |
為了解學(xué)生成績與學(xué)生模擬選課情況之問的關(guān)系,用分層抽樣的方法從這200名學(xué)生中抽取40人的樣本進(jìn)行分析
(l)樣本中選擇組合20號(hào)“政歷地”的有多少人?若以樣本頻率作為概率,求該高中學(xué)生不選物理學(xué)科的概率?
(Ⅱ)從樣本中選擇學(xué)習(xí)生物且學(xué)習(xí)政治的學(xué)生中隨機(jī)抽取3人,求這3人中至少有一人還學(xué)習(xí)歷史的概率?
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知首項(xiàng)為的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為, 且成等差數(shù)列.
(Ⅰ) 求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ) 證明.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線經(jīng)過點(diǎn),過作兩條不同直線,其中直線關(guān)于直線對(duì)稱.
(Ⅰ)求拋物線的方程及準(zhǔn)線方程;
(Ⅱ)設(shè)直線分別交拋物線于兩點(diǎn)(均不與重合),若以線段為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切,求直線的方程.
查看答案和解析>>
百度致信 - 練習(xí)冊(cè)列表 - 試題列表
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報(bào)平臺(tái) | 網(wǎng)上有害信息舉報(bào)專區(qū) | 電信詐騙舉報(bào)專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報(bào)專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報(bào)專區(qū)
違法和不良信息舉報(bào)電話:027-86699610 舉報(bào)郵箱:58377363@163.com