Question

已知f（x）是定義在（0，+∞）上的單調(diào)函數(shù)，f′（x）是f（x）的導函數(shù)，若對?x∈（0，+∞），都有f[f（x）-2^x]=3，則方程f′（x）-

4

x

=0的解所在的區(qū)間是（　　）

• A、（0，

  1

  2

  ）
• B、（

  1

  2

  ，1）
• C、（1，2）
• D、（2，3）

Answer 1

考點：導數(shù)的運算

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：由題意，可知f（x）-2^X是定值，令t=f（x）-2^X，得出f（x）=2^X+t，再由f（t）=2^t+t=3求出t的值，即可得出f（x）的表達式，求出函數(shù)的導數(shù)，即可求出f′（x）-

4

x

=0的解所在的區(qū)間，即得正確選項．

解答： 解：由題意，可知f（x）-2^X是定值，不妨令t=f（x）-2^X，則f（x）=2^X+t
又f（t）=2^t+t=3，解得t=1
所以有f（x）=2^X+1
所以f′（x）=2^X•ln2，
令F（x）=f′（x）-

4

x

=2^X•ln2-

4

x

可得F（1）=2¹•ln2-4＜0，F(xiàn)（2）=2²•ln2-2＞0，
即F（x）=2^X•ln2-

4

x

零點在區(qū)間（1，2）內(nèi)
所以f′（x）-

4

x

=0的解所在的區(qū)間是（1，2）
故選：C．

點評：本題考查導數(shù)運算法則，函數(shù)的零點，解題的關(guān)鍵是判斷出f（x）-2^x是定值，本題考查了轉(zhuǎn)化的思想，將方程的根轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點來進行研究，降低了解題的難度．