Question

19．如圖，平面內(nèi)有三個向量$\overrightarrow{OA}$、$\overrightarrow{OB}$、$\overrightarrow{OC}$，其中$\overrightarrow{OA}$與$\overrightarrow{OB}$的夾角為120°，$\overrightarrow{OA}$與$\overrightarrow{OC}$的夾角為30°，且|$\overrightarrow{OA}|=|\overrightarrow{OB}$|=1，|$\overrightarrow{OC}|=2\sqrt{3}$，若$\overrightarrow{OC}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}$（x，y∈R），則（x，y）=（4，2）．

Answer 1

分析 如圖所示，過點(diǎn)C作CD∥OB，交直線OA與點(diǎn)D，由題意可得∠OCD=90°．在Rt△OCD中，利用邊角關(guān)系求得|$\overrightarrow{CD}$|=2，|$\overrightarrow{OD}$|=4，再由|$\overrightarrow{OD}$|=x|$\overrightarrow{OA}$|，|$\overrightarrow{DC}$|=y|$\overrightarrow{OB}$|，求得x，y的值．

解答 解：如圖所示，過點(diǎn)C作CD∥OB，交直線OA與點(diǎn)D．
∵$\overrightarrow{OA}$與$\overrightarrow{OB}$的夾角為120°，$\overrightarrow{OA}$與$\overrightarrow{OC}$的夾角為30°，
∴∠OCD=90°．
在Rt△OCD中，|$\overrightarrow{CD}$|=|$\overrightarrow{OC}$|tan30°=2$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=2．
|$\overrightarrow{OD}$|=$\frac{2}{sin30°}$=4，
由$\overrightarrow{OC}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{DC}$，
可得|$\overrightarrow{OD}$|=x|$\overrightarrow{OA}$|，|$\overrightarrow{DC}$|=y|$\overrightarrow{OB}$|，即x=4，y=2．
故答案：（4，2）．

點(diǎn)評 本題主要考查兩個向量的加減法的法則，以及其幾何意義，熟練掌握向量的三角形法則和向量共線定理是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．