Question

已知函數(shù)．
（Ⅰ）若，求sin2α的值；
（II）設(shè)，求函數(shù)g（x）在區(qū)間上的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】分析：（I）根據(jù)函數(shù)f（x）表達(dá)式，結(jié)合兩角差的余弦公式化簡(jiǎn)整理，得．再將兩邊平方，結(jié)合同角三角函數(shù)平方關(guān)系和二倍角的正弦公式，可得sin2α的值；
（II）將f（x）表達(dá)式代入，利用兩角和與差的余弦公式展開(kāi)，并用二倍角的余弦公式化簡(jiǎn)整理，得g（x）=cos2x．最后結(jié)合余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，可得到函數(shù)g（x）在區(qū)間上的最大值和最小值．
解答：解：（Ⅰ）∵，
∴，得 ．
兩邊平方得，sin²α+2sinαcosα+cos²α=，
即1+sin2α=，可得．…（6分）
（II）=
=
==．…（10分）
當(dāng)時(shí)，．
所以，當(dāng)x=0時(shí)，g（x）的最大值為；當(dāng)時(shí)，g（x）的最小值為．
即函數(shù)g（x）在區(qū)間上的最大值為g（0）=，最小值為g（）=-．…（13分）
點(diǎn)評(píng)：本題給出三角函數(shù)表達(dá)式，要求我們將另一個(gè)函數(shù)化簡(jiǎn)后求它的最大最小值，著重考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系、兩角和與差的余弦公式和三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．