Question

7．在標準情況下，同時建立直角坐標系與極坐標系已知圓：ρ=4cosθ，直線$\left\{{\begin{array}{l}{x=a-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\\{y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\end{array}}\right.$．
（1）求圓的參數(shù)方程；
（2）若直線與圓相切，求a及直線的極坐標方程．

Answer 1

分析 （1）化圓的極坐標方程為普通方程，然后化為圓的標準方程為參數(shù)方程；
（2）求出圓心到直線l的距離d，從而求得a的值；將直線參數(shù)方程轉化為普通方程，然后化為直線的標準方程為極坐標方程．

解答 解：（1）由ρ=4cosθ，得ρ²=4ρcosθ，即x²-4x+y²=0，
配方為（x-2）²+y²=4．
設x-2=2cosα，則y=2sinα，α∈[0，2π）．
則圓的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}{x=2+2cosα}\\{y=2sinα}\end{array}\right.$；
（2）由直線$\left\{{\begin{array}{l}{x=a-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\\{y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\end{array}}\right.$得到y(tǒng)+x-a=0．
由（1）知，圓的方程為：（x-2）²+y²=4．
則該圓的圓心是（2，0），半徑是2，
所以當直線與圓相切時，d=2=$\frac{|2-a|}{\sqrt{2}}$，
解得a=2-2$\sqrt{2}$或a=2+2$\sqrt{2}$；
故直線是y+x-2+2$\sqrt{2}$=0或y+x-2-2$\sqrt{2}$=0．
∵x=ρcosθ，y=ρsinθ，
∴極坐標方程式 ρcosθ+ρsinθ-2+2$\sqrt{2}$=0或ρcosθ+ρsinθ-2-2$\sqrt{2}$=0．

點評 本題考查了極坐標方程化為直角坐標方程、參數(shù)方程化為普通方程、直線與圓的位置關系、點到直線的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．