已知函數(shù)f(x)=2sin(x+
π
3
)•cos(x+
π
3
)-sin(2x+3π).
(I)求 f(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間;
(Ⅱ)若將f(x)的圖象向左平移
π
4
個單位,得到函數(shù)g(x)的圖象,求函數(shù)g(x)在區(qū)間[0,
π
2
]上的最大值和最小值.
考點:函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象變換,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦函數(shù)的圖象
專題:三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)
分析:(I)由三角函數(shù)的恒等變換化簡解析式可得f(x)=sin(2x+
π
3
),由周期公式可求T,由2kπ-
π
2
≤2x+
π
3
≤2kπ+
π
2
,k∈Z可解得f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.(Ⅱ)由已知可得g(x)=cos(2x+
π
3
),從而可求函數(shù)g(x)在區(qū)間[0,
π
2
]上的最大值和最小值.
解答: 解:(I)∵f(x)=2sin(x+
π
3
)•cos(x+
π
3
)-sin(2x+3π).
=sin(2x+
3
)+sin2x=sin2xcos
3
+cos2xsin
3
+sin2x
=
1
2
sin2x+
3
2
cos2x
=sin(2x+
π
3

∴T=
2

由2kπ-
π
2
≤2x+
π
3
≤2kπ+
π
2
,k∈Z可解得:-
12
+kπ
≤x≤
π
12
+kπ
,k∈Z
故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是:[-
12
+kπ
,
π
12
+kπ
],k∈Z
(Ⅱ)由已知可得g(x)=f(x+
π
4
)=sin[2(x+
π
4
)+
π
3
]=sin(2x+
π
2
+
π
3
)=cos(2x+
π
3

∴x∈[0,
π
2
],
∴2x+
π
3
∈[
π
3
,
3
]
故當(dāng)2x+
π
3
=π,即x=
π
3
時,g(x)min=g(
π
3
)=-1;
故當(dāng)2x+
π
3
=
π
3
,即x=0時,g(x)max=g(0)=
1
2
點評:本題主要考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.
練習(xí)冊系列答案
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3
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OP
OQ
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1+b2
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,此時a=
 
,b=
 

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函數(shù)f(x)=x 
1
3
-
1
2x
的零點所在的區(qū)間是(  )
A、(0,
1
4
B、(
1
4
,
1
3
C、(
1
3
,
1
2
D、(
1
2
,1)

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在-360°~360°之間,與角175°終邊相同的角是
 

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