Question

（1）已知二次函數(shù)f（x）滿足條件f（0）=1及f（x+1）-f（x）=2x，求f（x）；
（2）若f（x）滿足關系式f（x）+2f（

1

x

）=3x，求f（x）的解析式；
（3）f（x+1）=x²+4x+1，求f（x）的解析式．

Answer 1

考點：函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）據(jù)二次函數(shù)的形式設出f（x）的解析式，將已知條件代入，列出方程，令方程兩邊的對應系數(shù)相等解得
（2）由f（x）+2f（

1

x

）=3x①，得到f（

1

x

）+2f（x）=3

1

x

②，由①②構成方程組解得即可．
（3）令t=x+1，則x=t-1，利用換元法，可得函數(shù)解析式．

解答： 解：（1）設y=f（x）=ax²+bx+c
∵f（0）=1，f（x+1）-f（x）=2x
∴c=1；a（x+1）²+b（x+1）+c-（ax²+bx+c）=2x
∴∴2a=2，a+b=0
解得a=1，b=-1
函數(shù)f（x）的表達式為f（x）=x²-x+1
（2）：f（x）+2f（

1

x

）=3x①，
令x=

1

x

，則
f（

1

x

）+2f（x）=3

1

x

②，
由①②構成方程組解得，
函數(shù)f（x）的表達式為f（x）=

2

x

-x，
（3）解：令t=x+1，
則x=t-1，
∵f（x+1）=x²+4x+1
∴f（t）=（t-1）²+4（t-1）+1=t²+2t-2，
∴f（x）=x²+2x-2．

點評：本題考查利用待定系數(shù)法，方程組法，換元法求函數(shù)的解析式，屬于基礎題．