【題目】如圖，在三棱柱中，平面，，，且，，分別為棱，，的中點(diǎn).

（1）證明：直線與共面；并求其所成角的余弦值；

（2）在棱上是否存在點(diǎn)，使得平面，若存在，求的值；若不存在，請說明理由.

【答案】（1）證明見解析，；（2）存在，，理由見解析.

【解析】

（1）證明直線與共面只需證明出與平行即可，然后再通過余弦定理求出兩直線所成角的余弦值；

（2）建立直角坐標(biāo)系，求出，利用線面垂直條件證明即可.

（1）證明：，分別是，的中點(diǎn)，

，

由棱柱性質(zhì)易得，

，

，，，四點(diǎn)共面，

即直線與共面得證，

取中點(diǎn)為，連結(jié)，易知四邊形為平行四邊形，

故，則為直線與所成角，

，，

，

在中，，

，

，

即直線與所成角的余弦值為；

（2）由題意，直線，，兩兩相互垂直，

如圖所示建立直角坐標(biāo)系，為坐標(biāo)原點(diǎn)，

有，，，，

，，

設(shè)，，

則，，

，

要使平面，則，

即，

解得，即，

故在棱上存在點(diǎn)，

使得平面，且.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)（）.

（1）若，討論的單調(diào)性；

（2）若在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，.

（1）當(dāng)時(shí)，若關(guān)于的不等式恒成立，求的取值范圍；

（2）當(dāng)時(shí)，證明： .

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值；

（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)（其中）恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是菱形，平面平面，且，，為的中點(diǎn)，．

（1）求證：平面；

（2）求三棱錐的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，轎車已成為人們上班代步的一種重要工具.現(xiàn)將某人三年以來每周開車從家到公司的時(shí)間之和統(tǒng)計(jì)如圖所示.

（1）求此人這三年以來每周開車從家到公司的時(shí)間之和在（時(shí)）內(nèi)的頻率；

（2）求此人這三年以來每周開車從家到公司的時(shí)間之和的平均數(shù)（每組取該組的中間值作代表）；

（3）以頻率估計(jì)概率，記此人在接下來的四周內(nèi)每周開車從家到公司的時(shí)間之和在（時(shí)）內(nèi)的周數(shù)為，求的分布列以及數(shù)學(xué)期望.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】黨的十九大報(bào)告明確指出要堅(jiān)決打贏脫貧攻堅(jiān)戰(zhàn)，讓貧困人口和貧困地區(qū)同全國一道進(jìn)入全面小康社會，要?jiǎng)訂T全黨全國全社會力量，堅(jiān)持精準(zhǔn)扶貧、精準(zhǔn)脫貧，確保到2020年我國現(xiàn)行標(biāo)準(zhǔn)下農(nóng)村貧困人口實(shí)現(xiàn)脫貧.現(xiàn)有扶貧工作組到某山區(qū)貧困村實(shí)施脫貧工作.經(jīng)摸底排查，該村現(xiàn)有貧困農(nóng)戶100戶，他們均從事水果種植，2017年底該村平均每戶年純收入為1萬元，扶貧工作組一方面請有關(guān)專家對水果進(jìn)行品種改良，提高產(chǎn)量；另一方面，抽出部分農(nóng)戶從事水果包裝、銷售工作，其戶數(shù)必須小于種植的戶數(shù).從2018年初開始，若該村抽出戶（，）從事水果包裝、銷售.經(jīng)測算，剩下從事水果種植農(nóng)戶的年純收入每戶平均比上一年提高，而從事包裝銷售農(nóng)戶的年純收入每戶平均為萬元.（參考數(shù)據(jù)：，，，）.

（1）至2018年底，該村每戶年均純收入能否達(dá)到1.32萬元？若能，請求出從事包裝、銷售的戶數(shù)；若不能，請說明理由；

（2）至2020年底，為使從事水果種植農(nóng)戶能實(shí)現(xiàn)脫貧（即每戶（水果種植農(nóng)戶）年均純收入不低于1.6萬元），至少要抽出多少戶從事包裝、銷售工作？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，其中，為自然對數(shù)的底數(shù). 設(shè)是的導(dǎo)函數(shù).

（Ⅰ）若時(shí)，函數(shù)在處的切線經(jīng)過點(diǎn)，求的值；

（Ⅱ）求函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅲ）若，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】2017年3月18日，國務(wù)院辦公廳發(fā)布了《生活垃圾分類制度實(shí)施方案》，我市環(huán)保部門組織了一次垃圾分類知識的網(wǎng)絡(luò)問卷調(diào)查，每位市民都可以通過電腦網(wǎng)絡(luò)或手機(jī)微信平臺參與，但僅有一次參加機(jī)會工作人員通過隨機(jī)抽樣，得到參與網(wǎng)絡(luò)問卷調(diào)查的100人的得分（滿分按100分計(jì)）數(shù)據(jù)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表．

組別

女

2

4

4

15

21

9

男

1

4

10

10

12

8

（1）環(huán)保部門規(guī)定：問卷得分不低于70分的市民被稱為“環(huán)保關(guān)注者”．請列出列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過的前提下，認(rèn)為是否為“環(huán)保關(guān)注者”與性別有關(guān)？

（2）若問卷得分不低于80分的人稱為“環(huán)保達(dá)人”．現(xiàn)在從本次調(diào)查的“環(huán)保達(dá)人”中利用分層抽樣的方法隨機(jī)抽取5名市民參與環(huán)保知識問答，再從這5名市民中抽取2人參與座談會，求抽取的2名市民中，既有男“環(huán)保達(dá)人”又有女“環(huán)保達(dá)人”的概率．

附表及公式：，．

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