Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）當(dāng)時(shí)，若關(guān)于的不等式恒成立，求的取值范圍；

（2）當(dāng)時(shí)，證明： .

Answer 1

【答案】（1）.（2）見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：（1）由，得恒成立，令.求出的最小值，即可得到的取值范圍；

∵為數(shù)列的前項(xiàng)和，為數(shù)列的前項(xiàng)和.

∴只需證明 即可.

試題解析：

（1）由，得 .

整理，得恒成立，即.

令.則.

∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

∴函數(shù)的最小值為.

∴，即.

∴的取值范圍是.

（2）∵為數(shù)列的前項(xiàng)和，為數(shù)列的前項(xiàng)和.

∴只需證明 即可.

由（1），當(dāng)時(shí)，有，即.

令，即得 .

∴ .

現(xiàn)證明，

即 .

現(xiàn)證明.

構(gòu)造函數(shù) ，

則 .

∴函數(shù)在上是增函數(shù)，即.

∴當(dāng)時(shí)，有，即成立.

令，則式成立.

綜上，得 .

對(duì)數(shù)列，，分別求前項(xiàng)和，得

.