Question

18．設(shè)橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的一個焦點與拋物線y²=4x的焦點重合，離心率e=$\frac{1}{2}$，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別為左、右焦點，AB是過右焦點的弦．
（I）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（II）求△ABF₁的面積的最大值．

Answer 1

分析 （I）拋物線y²=4x的焦點為（1，0），可得c=1，$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，又a²=b²+c²，聯(lián)立解出即可得出．
（II）設(shè)直線AB的方程為：my=x-1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．與橢圓方程聯(lián)立化為：（3m²+4）y²+6my-9=0，可得|y₁-y₂|=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$．可得${S}_{△AB{F}_{1}}$=$\frac{1}{2}×2c×$|y₁-y₂|，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可得出．

解答 解：（I）拋物線y²=4x的焦點為（1，0），即橢圓的右焦點為（1，0）
∴c=1，$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，又a²=b²+c²，解得c=1，a=2，b²=3．
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（II）設(shè)直線AB的方程為：my=x-1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{my=x-1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，化為：（3m²+4）y²+6my-9=0，
∴y₁+y₂=-$\frac{6m}{3{m}^{2}+4}$，y₁y₂=$\frac{-9}{3{m}^{2}+4}$．
∴|y₁-y₂|=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\frac{12\sqrt{1+{m}^{2}}}{4+3{m}^{2}}$．
∴${S}_{△AB{F}_{1}}$=$\frac{1}{2}×2c×$|y₁-y₂|=$\frac{12\sqrt{1+{m}^{2}}}{4+3{m}^{2}}$=f（m），
令$\sqrt{1+{m}^{2}}$=t≥1，則f（m）=$\frac{12t}{1+3{t}^{2}}$=$\frac{12}{\frac{1}{t}+3t}$．
令g（t）=3t+$\frac{1}{t}$，則g′（t）=3-$\frac{1}{{t}^{2}}$＞0，
∴函數(shù)g（t）在t∈[1，+∞）上單調(diào)遞增，∴t=1時，g（t）取得最小值4，
因此m=0時，f（m）取得最大值3．
∴AB⊥x軸時，△ABF₁的面積取得最大值4．

點評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交弦長問題、三角形面積計算公式、利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．