Question

10．某大學(xué)自主招生面試時(shí)將20名學(xué)生平均分成甲，乙兩組，其中甲組有4名女學(xué)生，乙組有6名女學(xué)生．現(xiàn)采用分層抽樣（層內(nèi)采用不放回簡(jiǎn)單隨即抽樣）從甲、乙兩組中共抽取4名學(xué)生進(jìn)行第一輪面試．
（Ⅰ）求從甲、乙兩組各抽取的人數(shù)；
（Ⅱ）求從甲組抽取的學(xué)生中恰有1名女學(xué)生的概率；
（Ⅲ）求抽取的4名學(xué)生中恰有2名男學(xué)生的概率．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)分層抽樣的規(guī)則，求出每組應(yīng)抽取2名學(xué)生．
（II）從甲組抽取的學(xué)生中恰有1名女生的事件應(yīng)該是甲組一名女生，已組一名男生．
（III）本事件可以按從甲組中抽取的男人數(shù)進(jìn)行分類：第一類是甲組兩男乙組兩女；第二類是甲組一男一女乙組一男一女；第三類是甲組二女乙組兩男，

解答 解：（ I）由于甲、乙兩組各有10名學(xué)生，
根據(jù)分層抽樣原理，要從甲、乙兩組中共抽取4名學(xué)生進(jìn)行面試，則從每組各抽取2名學(xué)生．
（ II）記A表示事件：從甲組抽取的學(xué)生中恰有1名女學(xué)生，則$P（A）=\frac{C_4^1C_6^1}{{C_{10}^2}}=\frac{8}{15}$；
（ III）A_i表示事件：從甲組抽取的2名學(xué)生中恰有i名男學(xué)生，i=0，1，2，B_j表示事件：
從乙組抽取的2名學(xué)生中恰有j名男學(xué)生，j=0，1，2，
B表示事件：抽取的4名學(xué)生中恰有2名男學(xué)生．A_i與B_j獨(dú)立，i，j=0，1，2，
且B=A₀•B₂+A₁•B₁+A₂•B₀；
故P（B）=P（A₀•B₂+A₁•B₁+A₂•B₀）
=P（A₀）•P（B₂）+P（A₁）•P（B₁）+P（A₂）•P（B₀）
=$\frac{C_4^2}{{C_{10}^2}}•\frac{C_4^2}{{C_{10}^2}}+\frac{C_4^1C_6^1}{{C_{10}^2}}•\frac{C_6^1C_4^1}{{C_{10}^2}}+\frac{C_6^2}{{C_{10}^2}}•\frac{C_6^2}{{C{\;}_{10}^2}}$=$\frac{93}{225}$．
即 P（B）=$\frac{93}{225}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查分層抽樣以及古典概型的應(yīng)用，是基本知識(shí)的考查．