Question

如圖，我市市區(qū)有過市中心O南北走向的解放路，為了解決南徐新城的交通問題，市政府決定修建兩條公路，延伸從市中心O出發(fā)北偏西60°方向的健康路至B點；在市中心正南方解放路上選取A點，在A、B間修建徐新路．
（1）如果在A點看市中心O和點B視角的正弦值為，求在點B處看市中心O和點A視角的余弦值；
（2）如果△AOB區(qū)域作為保護區(qū)，已知保護區(qū)的面積為，A點距市中心的距離為3km，求南徐新路的長度；南徐新城南徐新路健康路BB西北東A南O解放城解放城正東路
（3）如果設(shè)計要求市中心O到南徐新路AB段的距離為4km，且南徐新路AB最短，請你確定兩點A、B的位置．

Answer 1

解：（1）由題可得∠A0B=，∠BAO為稅角，sin∠BAO=，
故cos∠BAO=，cos∠OBA=cos（-∠BAO）==
（2）OA=3，S=OA×OB×sin∠BOA=OB×3×sin=，
∴OB=5，由余弦定理可得
=9+25+15=49，∴AB=7
（3）∵BA×4=×OA×OB×sin∠BOA，∴OA×OB=AB

=OA²+OB²+OA×OB≥3OA×OB=3×AB，
∴AB≥8，等號成立條件是OA=OB=8
答：當AB最短時，A，B距離市中心O為8公里．
分析：（1）由題意∠A0B=，∠BAO為稅角，sin∠BAO=，由于；∠OBA=-∠BAO，故由差角公式求值即可；
（2）如圖在三角形AOB中用余弦定理求解即可．
（3）根據(jù)題設(shè)條件用余弦定理將南徐新路AB的長度表示出來，再結(jié)合基本不等式求最值即可．
點評：本題考查在實際問題中建立三角函數(shù)的模型，利用三角函數(shù)模型解決實際問題，三角函數(shù)模型是一個非常重要的模型，在實際生活中有著很廣泛的運用．