Question

如圖，我市市區(qū)有過市中心O南北走向的解放路，為了解決南徐新城的交通問題，市政府決定修建兩條公路，延伸從市中心O出發(fā)北偏西60°方向的健康路至B點(diǎn)；在市中心正南方解放路上選取A點(diǎn)，在A、B間修建徐新路．
（1）如果在A點(diǎn)看市中心O和點(diǎn)B視角的正弦值為

3

5

，求在點(diǎn)B處看市中心O和點(diǎn)A視角的余弦值；
（2）如果△AOB區(qū)域作為保護(hù)區(qū)，已知保護(hù)區(qū)的面積為

15

4

3

km2，A點(diǎn)距市中心的距離為3km，求南徐新路的長度；南徐新城南徐新路健康路BB西北東A南O解放城解放城正東路
（3）如果設(shè)計(jì)要求市中心O到南徐新路AB段的距離為4km，且南徐新路AB最短，請(qǐng)你確定兩點(diǎn)A、B的位置．

Answer 1

分析：（1）由題意∠A0B=

2

3

π，∠BAO為稅角，sin∠BAO=

3

5

，由于；∠OBA=

π

3

-∠BAO，故由差角公式求值即可；
（2）如圖在三角形AOB中用余弦定理求解即可．
（3）根據(jù)題設(shè)條件用余弦定理將南徐新路AB的長度表示出來，再結(jié)合基本不等式求最值即可．

解答：解：（1）由題可得∠A0B=

2

3

π，∠BAO為稅角，sin∠BAO=

3

5

，
故cos∠BAO=

4

5

，cos∠OBA=cos（

π

3

-∠BAO）=

1

2

×

4

5

+

3

2

× 

3

5

=

4+3 3

10

（2）OA=3，S=

1

2

OA×OB×sin∠BOA=

1

2

OB×3×sin

2

3

π=

15 3

4

，
∴OB=5，由余弦定理可得
AB2=OA2+OB2-2×OA×OBcos

2

3

π=9+25+15=49，∴AB=7
（3）∵

1

2

BA×4=

1

2

×OA×OB×sin∠BOA，∴OA×OB=

8 3

3

AB
AB2=OA2+OB2-2×OA×OBcos

2

3

π
=OA²+OB²+OA×OB≥3OA×OB=3×

8 3

3

AB，
∴AB≥8

3

，等號(hào)成立條件是OA=OB=8
答：當(dāng)AB最短時(shí)，A，B距離市中心O為8公里．

點(diǎn)評(píng)：本題考查在實(shí)際問題中建立三角函數(shù)的模型，利用三角函數(shù)模型解決實(shí)際問題，三角函數(shù)模型是一個(gè)非常重要的模型，在實(shí)際生活中有著很廣泛的運(yùn)用．