Question

已知橢圓的中心為直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，它的一個(gè)頂點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離分別是7和1．

（1）求橢圓的方程；

（2）若為橢圓的動(dòng)點(diǎn)，為過(guò)且垂直于軸的直線上的點(diǎn)，（為橢圓的離心率），求點(diǎn)的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡是什么曲線．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）軌跡方程為軌跡是兩條平行于x軸的線段．

【解析】

試題分析：（1）橢圓有四個(gè)（兩對(duì)）頂點(diǎn)，短軸的兩個(gè)頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離相等，這里可見(jiàn)是長(zhǎng)軸的兩頂點(diǎn)，于是有，可求得，以及橢圓方程；（2）動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)是由點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)引起的，因此要求點(diǎn)的軌跡方程，我們采取動(dòng)點(diǎn)轉(zhuǎn)移法，借助于點(diǎn)，就是設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，想辦法用表示，然后把代入點(diǎn)所在的橢圓的方程，即可得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，化簡(jiǎn)即可。

試題解析：（1）設(shè)橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)及分別為a,c,由已知得

{  解得a=4,c=3,所以橢圓C的方程為

（2Ⅱ）設(shè)M（x,y）,P(x,),其中由已知得

而，故             ①

由點(diǎn)P在橢圓C上得  代入①式并化簡(jiǎn)得

所以點(diǎn)M的軌跡方程為軌跡是兩條平行于x軸的線段．

考點(diǎn)：（1）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）動(dòng)點(diǎn)轉(zhuǎn)移法求軌跡方程，軌跡。