Question

已知函數(shù)f（x）=2x³+ax²+bx-26（a，b∈R）在x=-3和x=2處取到極值．
（1）求a，b和f（-3）-f（2）的值；
（2）求最大的正整數(shù)t，使得?x₁，x₂∈[-t，t]時，|f（x₁）-f（x₂）|≤125與|f′（x₁）-f′（x₂）|≤125同時成立．

Answer 1

考點：導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用,利用導數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）求導數(shù)f′（x），由題意得f′（-3）=0，f′（2）=0，解方程組即可求得a，b值，
代入求得f（-3）-f（2），
（2）先求出得?x₁，x₂∈[-t，t]時，|f（x₁）-f（x₂）|≤125的t的最大值，再求出?x₁，x₂∈[-t，t]時，|f′（x₁）-f′（x₂）|≤125的最大值，問題得解決．

解答： 解：（1）f′（x）=6x²+2ax+b，
因為函數(shù)f（x）在x=-1和x=3時取得極值，
所以

f′(-3)=0 f′(2)=0

，即

54-6a+b=0 24+4a+b=0

解得a=3，b=-36，
∴f（x）=2x³+3x²-36x-26，
∴f（-3）=55，f（2）=-70
∴f（-3）-f（2）=125．
（2）由（1）知，f′（x）=6x²+6ax-36=6（x+3）（x-2）=6（x+

1

2

）²-

75

2

，
∵f′（x）=0的兩個根為-3和2，
∴f（x）在（-∞，-3）和（2，+∞）上單調(diào)遞增，在（-3，2）上單調(diào)遞減，
∴當x=-3時f（x）取得極大值，當x=2時f（x）取得極小值，
∴|f（-3）-f（2）|=125．
令f（x）=2x³+3x²-36x-26=55，
∴2x³+3x²-36x-81=0，
其有一個根為-3，則分解得：（x+3）²•（2x-9）=0，
解得x=-3或x=

9

2

，
令f（x）=2x³+3x²-36x-26=-70，
∴2x³+3x²-36x+44=0，
其有一個根為3，則分解得：（x-2）²•（2x+11）=0，
解得x=2或x=-

11

2

，
則要使得?x₁，x₂∈[-t，t]時|f（x₁）-f（x₂）|≤125，必須滿足0＜t≤

9

2

，
∵t為正整數(shù)，
∴t最大為4．
另一方面，f′（x）=6x²+6ax-36=6（x+

1

2

）²-

75

2

，
由于t∈Z，要使得?x₁，x₂∈[-t，t]時|f′（x₁）-f′（x₂）|≤125成立，
則f′（t）-（-

75

2

）≤125，
即6t²+6t-36-（-

75

2

）≤125，
∴12t²+12t-247≤0，
令g（t）=12t²+12t-247，
則g（4）=-7＜0，g（5）=113＞0，
要使得?x₁，x₂∈[-t，t]時|f′（x₁）-f′（x₂）|≤125成立，
t≤4，
綜上所述，最大的正整數(shù)t為4．

點評：本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的極值及求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，考查函數(shù)恒成立問題，考查學生對問題的轉(zhuǎn)化能力，恒成立問題往往轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值解決，屬于難題．