Question

求數(shù)列a，2a²，3a³，4a⁴，…，naⁿ，…（a為常數(shù)）的前n項(xiàng)和．

Answer 1

分析：數(shù)列{naⁿ}是由數(shù)列{n}與{aⁿ}對(duì)應(yīng)項(xiàng)的積構(gòu)成的，此類型的才適應(yīng)錯(cuò)位相減，但要注意應(yīng)按以三種情況進(jìn)行討論，最后再綜合成兩種情況即可求解．

解答：解：若a=0，則S_n=0
若a=1，

n(n+1)

2

則S_n=1+2+3+…+n=

n(n+1)

2

若a≠0且a≠1則S_n=a+2a²+3a³+4a⁴+…+naⁿ
∴aS_n=a²+2 a³+3 a⁴+…+naⁿ⁺¹
∴（1-a） S_n=a+a²+a³+…+aⁿ-naⁿ⁺¹=

a-an+1

1-a

-nan+1
∴S_n=

a-an+1

(1-a)2

-

nan+1

1-a

(a≠1)
若a=0，則S_n=0適合上式
即S_n=

a-an+1

(1-a)2

-

nan+1

1-a

(a≠1)；S_n=1+2+3+…+n=

n(n+1)

2

（a=1）
總上可得，S_n=

a-an+1 (1-a)2 - nan+1 1-a (a≠1)  n(n+1) 2 (a=1)

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了錯(cuò)位相減求解數(shù)列的和，錯(cuò)位相減適合等差數(shù)列與等比數(shù)列的積構(gòu)成的數(shù)列，（課本中的等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式就是用這種方法推導(dǎo)出來的），但要注意本題中含有參數(shù)時(shí)，要分類討論．