Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x）的圖象連續(xù)不斷，若存在常數(shù)t（t∈R），使得f（x+t）+tf（x）=0對任意的實數(shù)x成立，則稱f（x）是回旋函數(shù)，其回旋值為t．給出下列四個命題：
①函數(shù)f（x）=2為回旋函數(shù)的充要條件是回旋值t=-1；
②若y=a^x（a＞0，且a≠1）為回旋函數(shù)，則回旋值t＞1；
③若f（x）=sinωx（ω≠0）為回旋函數(shù)，則其最小正周期不大于2；
④對任意一個回旋值為t（t≥0）的回旋函數(shù)f（x），方程f（x）=0均有實數(shù)根．
其中為真命題的是

 

（寫出所有真命題的序號）．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：推理和證明

分析：①利用回旋函數(shù)的定義即可．②若指數(shù)函數(shù)y=a^x為階數(shù)為t回旋函數(shù)，根據(jù)定義求解，得矛盾結(jié)論．
③由于f（x）=sinωx是回旋函數(shù)，故有：sinω（x+t）+tsinωx=0對任意實數(shù)x成立，結(jié)論可證．
④t=0時結(jié)論顯然；當(dāng)t≠0時先假設(shè)存在，利用回旋函數(shù)的定義，易得在區(qū)間（0，t）上必有一個實根．

解答： 解：對于①函數(shù)f（x）=2為回旋函數(shù)，則由f（x+t）+tf（x）=0，得2+2t=0，∴t=-1，故結(jié)論正確．
對于②，若指數(shù)函數(shù)y=a^x為階數(shù)為t回旋函數(shù)，則a^x+t+ta^x=0，a^t+t=0，∴t＜0，∴結(jié)論不成立．
對于③，由于f（x）=sinωx是回旋函數(shù)，故有：sinω（x+t）+tsinωx=0對任意實數(shù)x成立
令x=0，可得sinωt=0，令x=

π

2

，運用兩角的和的正弦公式可得可得cosωt=-t，
由

sinωt=0 cosωt=-t

，得t=±1，ω=kπ（k為整數(shù)），∴T=|

2

K

|≤2，∴結(jié)論正確；
對于④，如果t=0，顯然f（x）=0，則顯然有實根．下面考慮t≠0的情況．
若存在實根x₀，則f（x₀+t）+tf（x₀）=0，即f（x₀+t）=0說明實根如果存在，那么x₀+t也是實根．因此在區(qū)間（0，t）上必有一個實根．
則：f（0）f（t）＜0，由于f（0+t）+tf（0）=0，則f（0）=-

f(t)

t

，
只要t＞0，即可保證f（0）和f（t）異號．
綜上t≥0，即對任意一個階數(shù)為t（t≥0）的回旋函數(shù)f （x），方程f（x）=0均有實數(shù)根，故結(jié)論正確．
故答案為：①③④．

點評：本題是新定義題，關(guān)鍵是理解新定義，利用新定義時，應(yīng)注意賦值法的運用，屬于中檔題．