已知定義在R上的函數(shù)f(x)的圖象連續(xù)不斷,若存在常數(shù)t(t∈R),使得f(x+t)+tf(x)=0對(duì)任意的實(shí)數(shù)x成立,則稱f(x)是回旋函數(shù),其回旋值為t.給出下列四個(gè)命題:
①函數(shù)f(x)=2為回旋函數(shù)的充要條件是回旋值t=-1;
②若y=ax(a>0,且a≠1)為回旋函數(shù),則回旋值t>1;
③若f(x)=sinωx(ω≠0)為回旋函數(shù),則其最小正周期不大于2;
④對(duì)任意一個(gè)回旋值為t(t≥0)的回旋函數(shù)f(x),方程f(x)=0均有實(shí)數(shù)根.
其中為真命題的是
 
(寫(xiě)出所有真命題的序號(hào)).
考點(diǎn):命題的真假判斷與應(yīng)用
專題:推理和證明
分析:①利用回旋函數(shù)的定義即可.②若指數(shù)函數(shù)y=ax為階數(shù)為t回旋函數(shù),根據(jù)定義求解,得矛盾結(jié)論.
③由于f(x)=sinωx是回旋函數(shù),故有:sinω(x+t)+tsinωx=0對(duì)任意實(shí)數(shù)x成立,結(jié)論可證.
④t=0時(shí)結(jié)論顯然;當(dāng)t≠0時(shí)先假設(shè)存在,利用回旋函數(shù)的定義,易得在區(qū)間(0,t)上必有一個(gè)實(shí)根.
解答: 解:對(duì)于①函數(shù)f(x)=2為回旋函數(shù),則由f(x+t)+tf(x)=0,得2+2t=0,∴t=-1,故結(jié)論正確.
對(duì)于②,若指數(shù)函數(shù)y=ax為階數(shù)為t回旋函數(shù),則ax+t+tax=0,at+t=0,∴t<0,∴結(jié)論不成立.
對(duì)于③,由于f(x)=sinωx是回旋函數(shù),故有:sinω(x+t)+tsinωx=0對(duì)任意實(shí)數(shù)x成立
令x=0,可得sinωt=0,令x=
π
2
,運(yùn)用兩角的和的正弦公式可得可得cosωt=-t,
sinωt=0
cosωt=-t
,得t=±1,ω=kπ(k為整數(shù)),∴T=|
2
K
|≤2,∴結(jié)論正確;
對(duì)于④,如果t=0,顯然f(x)=0,則顯然有實(shí)根.下面考慮t≠0的情況.
若存在實(shí)根x0,則f(x0+t)+tf(x0)=0,即f(x0+t)=0說(shuō)明實(shí)根如果存在,那么x0+t也是實(shí)根.因此在區(qū)間(0,t)上必有一個(gè)實(shí)根.
則:f(0)f(t)<0,由于f(0+t)+tf(0)=0,則f(0)=-
f(t)
t
,
只要t>0,即可保證f(0)和f(t)異號(hào).
綜上t≥0,即對(duì)任意一個(gè)階數(shù)為t(t≥0)的回旋函數(shù)f (x),方程f(x)=0均有實(shí)數(shù)根,故結(jié)論正確.
故答案為:①③④.
點(diǎn)評(píng):本題是新定義題,關(guān)鍵是理解新定義,利用新定義時(shí),應(yīng)注意賦值法的運(yùn)用,屬于中檔題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知正數(shù)x,y滿足:xy=(14-x)(14-y),則x2+y2的最小值為
 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)=
log2(15-x),x≤0
f(x-2),x>0
,f(3)=
 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,過(guò)橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)上的動(dòng)點(diǎn)M引圓O:x2+y2=b2的兩條切線MA與MB,其中A,B分別為切點(diǎn),若橢圓上存在點(diǎn)M,使四邊形OAMB為正方形,則該橢 圓離心率的范圍為
 

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

半徑為1cm,中心角為150°的角所對(duì)的弧長(zhǎng)為( 。ヽm.
A、
2
3
B、
3
C、
5
6
D、
6

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

在銳角三角形ABC,若(a-b+c)(a+b+c)=3ac 
(Ⅰ)求角B;
(Ⅱ)求
3
sinA+cosA的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知全集U=R,A={x|-3<x≤6,x∈R},B={x|x2-5x-6<0,x∈R},求:
(1)集合B;  
(2)(∁UB)∩A.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a1=0,an+1-Sn=n.
(Ⅰ) 求證:數(shù)列{an+1}是等比數(shù)列,并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ) 設(shè)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn,b1=1,點(diǎn)(Tn+1,Tn)在直線
x
n+1
-
y
n
=
1
2
上,在(Ⅰ)的條件下,若不等式
b1
a1+1
+
b2
a2+1
+…+
bn
an+1
t2-3t
對(duì)于n∈N*恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知B、C是兩個(gè)定點(diǎn),|BC|=6,且△ABC的周長(zhǎng)為16.
(1)求三角形頂點(diǎn)A的軌跡S的方程;
(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)B與BC垂直的直線l交軌跡S于D、E兩點(diǎn),求線段DE的長(zhǎng)度.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案