Question

15．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sinωxcosωx-cos²ωx+$\frac{3}{2}$（ω∈R）的最小正周期為π，且圖象關于直線x=$\frac{π}{6}$對稱．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）若函數(shù)g（x）=f（-x）+a（0$≤x≤\frac{π}{2}$）有且只有一個零點，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角公式及變形，兩角差的正弦公式化簡解析式，由三角函數(shù)的周期公式、正弦函數(shù)的對稱軸分別列出方程，求出ω的值可得f（x）的解析式；
（2）由正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和整體思想求出f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）由（1）化簡g（x），由x的范圍2x-$\frac{π}{6}$的范圍，由正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)求出$sin（2x-\frac{π}{6}）$的范圍，將
g（x）的零點問題轉化為兩個函數(shù)圖象的交點問題，由條件和正弦函數(shù)的圖象列出不等式，求出實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）由題意得，f（x）=$\sqrt{3}$sinωxcosωx-cos²ωx+$\frac{3}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2ωx-\frac{1}{2}（1+cos2ωx）+\frac{3}{2}$=$sin（2ωx-\frac{π}{6}）+1$，
∵f（x）的最小正周期為π，
∴$\frac{2π}{2|ω|}=π$，則ω=±1，
∵圖象關于直線x=$\frac{π}{6}$對稱，
∴$2ω×\frac{π}{6}-\frac{π}{6}=\frac{π}{2}+kπ（k∈Z）$，得ω=2+3k（k∈Z），即ω=-1，
∴f（x）=$sin（-2x-\frac{π}{6}）+1$=$-sin（2x+\frac{π}{6}）+1$；
（2）由$\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{3π}{2}+2kπ（k∈Z）$得，
$\frac{π}{6}+kπ≤x≤\frac{2π}{3}+kπ（k∈Z）$，
∴f（x）單調(diào)遞增區(qū)間是$[\frac{π}{6}+kπ，\frac{2π}{3}+kπ]（k∈Z）$．
（3）由（1）得，g（x）=f（-x）+a=$sin（2x-\frac{π}{6}）+1+a$，
∵0$≤x≤\frac{π}{2}$，∴$-\frac{π}{6}≤2x-\frac{π}{6}≤\frac{5π}{6}$，則$-\frac{1}{2}≤sin（2x-\frac{π}{6}）≤1$，
∵函數(shù)g（x）=f（-x）+a（0$≤x≤\frac{π}{2}$）有且只有一個零點，
∴y=$sin（2x-\frac{π}{6}）$和y=-1-a的圖象有且僅有一個交點，
∴$-\frac{1}{2}≤-1-a＜\frac{1}{2}$或-1-a=1，
解得$-\frac{3}{2}＜a≤-\frac{1}{2}$或a=-2，
∴實數(shù)a的取值范圍是{a|a=-2或$-\frac{3}{2}＜a≤-\frac{1}{2}$}；

點評 本題考查了二倍角公式及變形、兩角差的正弦公式，正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應用，以及函數(shù)零點的轉化，考查整體思想，轉化思想，化簡、變形能力．