Question

點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是拋物線C：x²=2y上的不同兩點(diǎn)，過A，B分別作拋物線C的切線，兩條切線交于點(diǎn)P（x₀，y₀）．
（1）求證：x₀是x₁與x₂的等差中項(xiàng)；
（2）若直線AB過定點(diǎn)M（0，1），求證：原點(diǎn)O是△PAB的垂心；
（3）在（2）的條件下，求△PAB的重心G的軌跡方程．

Answer 1

分析：（1）首先求出拋物線的導(dǎo)數(shù)，進(jìn)而求出直線PA和PB的方程，得出 

x0= x1+x2 2 y0= x1x2 2

即可證明結(jié)論．
（2）設(shè)出直線方程并代入拋物線方程，利用韋達(dá)定理求出x0和y0，即可求出斜率，根據(jù)斜率乘積為-1得出垂直即可證明結(jié)論；
（3）設(shè)中重心的坐標(biāo)為G（x，y），可以得出x=k，y=

2

3

k²+

1

3

，即可求出軌跡方程．

解答：解：（1）對(duì)x²=2y求導(dǎo)　　得y'=x，
所以直線PA：y=x₁（x-x₁）+y₁，即y=x1x-

x 2 1

2

同理，直線PB：y=x2x-

x 2 2

2

，解得 

x0= x1+x2 2 y0= x1x2 2

所以x₀是x₁與x₂的等差中項(xiàng)；                      （5分）
（2）設(shè)直線AB：y=kx+1，代入x²=2y整理得x²-2kx-2=0．
∴

x1+x2=2k x1x2=-2

，得

x0=k y0=-1

∴kOP=

y0

x0

=-

1

k

即AB⊥OP；k_AP=x₁，kOB=

y2

x2

=

1

2

x2
∴kAPkOB=

1

2

x1x2=-1，
∴AP⊥OB，同理BP⊥OA，
所以原點(diǎn)O是△PAB的垂心； （（10分），只需證明兩個(gè)垂直就得滿分）
（3）設(shè)△PAB的重心G（x，y），則x=

1

3

(x1+x2+x0)=k，y=

1

3

(y1+y2+y0)=

1

6

(

x

2 1

+

x

2 2

)-

1

3

=

1

6

(x1+x2)2-

x1x2+1

3

=

2

3

k2+

1

3

因?yàn)閗∈R，所以點(diǎn)G的軌跡方程為y=

2

3

x2+

1

3

．               （15分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，兩直線垂直的判定，三角形的重心等知識(shí)，（3）問明確重心的意義是解題的關(guān)鍵，解題過程要認(rèn)真，屬于中檔題．