Question

在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知a，b，c成等比數(shù)列，cosB=

3

4

；
（1）設(shè)

BA

•

BC

=

3

2

，求△ABC的面積S_△ABC；
（2）求

1

tanA

+

1

tanC

的值．

Answer 1

分析：（1）先利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系求得sinB的值，根據(jù)

BA

•

BC

=

3

2

求得ac的值，然后代入三角形面積公式求得答案．
（2）利用正弦定理把b²=ac的邊轉(zhuǎn)化成角的正弦，然后把

1

tanA

+

1

tanC

轉(zhuǎn)化成弦，利用兩角和公式化簡整理求得結(jié)果為sinB，進(jìn)而把（1）中sinB的值代入即可．

解答：解：由已知有b²=ac，cosB=

3

4

，于是sinB=

1-cos2B

=

7

4

．
（1）∵

BA

•

BC

=

3

2

，即ca•cosB=

3

2

，且cosB=

3

4

，∴ca=2
∴S△ABC=

1

2

ac•sinB=

1

2

•2•

7

4

=

7

4

．
（2）由b²=ac及正弦定理得sin²B=sinAsinC．
于是

1

tanA

+

1

tanC

=

cosA

sinA

+

cosC

sinC

=

sinCcosA+cosCsinA

sinAsinC

=

sin(A+C)

sin2B

=

sinB

sin2B

=

1

sinB

=

4 7

7

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了正弦定理的應(yīng)用，向量積的計(jì)算，同角三角函數(shù)基本關(guān)系的應(yīng)用．綜合考查了學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)和運(yùn)算能力．