Question

11．已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F在x軸上，且拋物線上橫坐標(biāo)為1的點(diǎn)到F的距離為2，過(guò)點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求拋物線的方程；
（Ⅱ）若$\overrightarrow{AF}$=2$\overrightarrow{FB}$，求直線AB的斜率；
（Ⅲ）設(shè)點(diǎn)M在線段AB上運(yùn)動(dòng)，原點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)M的對(duì)稱點(diǎn)為C，求四邊形OACB面積的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)拋物線方程為C：y²=2px（p＞0），運(yùn)用拋物線的定義可得1+$\frac{P}{2}$=2，即可解得p，進(jìn)而得到拋物線方程；
（Ⅱ）依題意F（1，0），設(shè)直線AB的方程為x=my+1，聯(lián)立拋物線方程，消去x，運(yùn)用韋達(dá)定理和向量共線的坐標(biāo)表示，即可求得m，進(jìn)而得到直線AB的斜率；
（Ⅲ）由點(diǎn)C與原點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱，得M是線段OC的中點(diǎn)，從而點(diǎn)O與點(diǎn)C到直線AB的距離相等，所以四邊形OACB的面積等于2S_△AOB，再由三角形的面積公式計(jì)算即可得到最小值．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)拋物線方程為C：y²=2px（p＞0），
由其定義知|AF|=1+$\frac{P}{2}$，又|AF|=2，所以p=2，
即有拋物線的方程為y²=4x．
（Ⅱ）依題意F（1，0），設(shè)直線AB的方程為x=my+1．
將直線AB的方程與拋物線的方程聯(lián)立，消去x得y²-4my-4=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），所以y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4  …①
因?yàn)?\overrightarrow{AF}$=2$\overrightarrow{FB}$，所以y₁=-2y₂   …②
聯(lián)立①、②，消去y₁，y₂得m=±$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
所以直線AB的斜率是±2$\sqrt{2}$．
（Ⅲ）由點(diǎn)C與原點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱，得M是線段OC的中點(diǎn)，
從而點(diǎn)O與點(diǎn)C到直線AB的距離相等，
所以四邊形OACB的面積等于2S_△AOB，
而2S_△AOB=2×$\frac{1}{2}$•|OF|•|y₁-y₂|=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$
=4$\sqrt{1+{m}^{2}}$．
所以當(dāng)m=0時(shí)，四邊形OACB的面積最小，最小值是4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的定義、方程和性質(zhì)，主要考查拋物線方程和直線方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理，同時(shí)考查向量共線的坐標(biāo)表示，以及三角形面積的求法，注意運(yùn)用對(duì)稱性和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．