Question

（1）已知α，β都是銳角，且sinα=

5

5

，sinβ=

10

10

，求證：α+β=

π

4

（2）已知cos（α-β）=-

4

5

，cos（α+β）=

4

5

，且(α-β)∈(

π

2

，π)，(α+β)∈(

3π

2

，2π)，求cos2α，cos2β的值．

Answer 1

（1）證明：∵α，β都是銳角，
∴cosα=

1-sin2α

=

2 5

5

，cosβ=

1-sin2β

=

3 10

10

，
∴cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=

2

2

，
∴α+β是第一、四象限角，
又∵0＜α+β＜π，
∴α+β=

π

4

；
（2）∵α+β∈（

3π

2

，2π），cos（α+β）=

4

5

，
∴sin（α+β）=-

1-cos2(α+β)

=-

3

5

，
又∵α-β∈（

π

2

，π），cos（α-β）=-

4

5

，
∴sin（α+β）=

1-cos2(α-β)

=

3

5

，
∴cos2α=cos[（α+β）+（α-β）]=cos（α+β）cos（α-β）-sin（α+β）sin（α-β）=-

7

25

，
cos2β=cos[（α+β）-（α-β）]=cos（α+β）cos（α-β）+sin（α+β）sin（α-β）=-1．