Question

17．線段AB在平面α內(nèi)，AC⊥α，BD⊥AB，且BD與α所成角是30°，如果AB=a，AC=BD=b，求C、D間的距離．

Answer 1

分析 設(shè)D在α上的射影為D′，由題意∠DBD′=30°，∠BDD′=60°，求出BD′，DD′，連結(jié)AD′，求出AD′，取AC中點(diǎn)E，四邊形AEDD′是矩形，由此能求出C、D間的距離．

解答 解：設(shè)D在α上的射影為D′，則DD′⊥α．又∵AC⊥α，∴AC∥DD′．
即AC與BD所成的角就是BD與DD′所成的角，
∵線段AB在平面α內(nèi)，AC⊥α，BD⊥AB，且BD與α所成角是30°，AB=a，AC=BD=b，
由題意，在Rt△DD′B中，∠DBD′=30°，∠BDD′=60°，
∴在Rt△DD′B中，BD′=$\frac{\sqrt{3}}{2}b$，DD′=$\frac{2}$，
連結(jié)AD′，∵BD⊥AB，DD′⊥α，∴∠ABD′=90°，
解得AD′=$\sqrt{A{B}^{2}+B{{D}^{'}}^{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}+\frac{3}{4}^{2}}$，
取AC中點(diǎn)E，∵DD′=$\frac{2}$，∴四邊形AEDD′是矩形，
∴DE⊥CE，DE=D′A，
在Rt△CED中，CD=$\sqrt{C{E}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{AC}{2}）^{2}+A{{D}^{'}}^{2}}$
=$\sqrt{\frac{^{2}}{4}+{a}^{2}+\frac{3}{4}^{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$．
∴C、D間的距離為$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$．

點(diǎn)評 本題考查兩點(diǎn)間距離的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．