Question

已知函數(shù)f(x)=

x2+x+a

x

(x≠0，a∈R)
（Ⅰ）當(dāng)a＜0時(shí)，證明：函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)；
（Ⅱ）若對(duì)任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）f(x)=

x2+x+a

x

=x+

a

x

+1(x≠0)
設(shè)任意的x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，…（1分）
f(x1)-f(x2)=

x

1

+

a

x1

-

x

2

-

a

x2

=(x1-x2)(1-

a

x1x2

)…（4分）
∵0＜x₁＜x₂，a＜0，
∴x1-x2＜0 ， 1-

a

x1x2

＞0 ， (x1-x2)(1-

a

x1x2

)＜0．
即f（x₁）＜f（x₂）…（6分）
所以，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)，…（7分）
（Ⅱ）解法1：當(dāng)a≥0，x∈[1，+∞）時(shí)，函數(shù)f（x）＞0，…（9分）
當(dāng)a＜0時(shí)，由（Ⅰ）知：函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)，…（10分）
故當(dāng)x=1時(shí)，f（x）_min=2+a，…（12分）
于是當(dāng)且僅當(dāng)f（x）_min=2+a＞0，函數(shù)f（x）＞0恒成立，故-2＜a＜0．
綜上所述，所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-2，+∞）…（14分）
解法2：：f(x)=

x2+x+a

x

＞0，x∈[1，+∞）恒成立，?x²+x+a＞0，x∈[1，+∞）恒成立．…（9分）
設(shè)y=x²+x+a，x∈[1，+∞）
∵y=x2+x+a=(x+

1

2

)2+a-

1

4

，在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)，…（10分）
∴當(dāng)x=1時(shí)，f（x）_min=2+a，…（12分）
于是當(dāng)且僅當(dāng)f（x）_min=2+a＞0，函數(shù)f（x）＞0恒成立，故a＞-2．
所以，所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-2，+∞）．…（14分）