【題目】已知函數(shù).

(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;

(2)當(dāng)m>0時,若對于區(qū)間[1,2]上的任意兩個實(shí)數(shù)x1,x2,且x1<x2,都有,成立,求m的最大值.

【答案】(1)見解析 (2).

【解析】

1)先求導(dǎo),再分類討論,根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系即可解決,(2)根據(jù)題意可得fx2-x22)<fx1-x12,構(gòu)造函數(shù),再求導(dǎo),再分離參數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值即可.

(1)f(x)的定義域是(0,+∞), f′(x)=x+m+=

m≥0時,f′(x)>0, 故m≥0時,f(x)在(0,+∞)遞增;

m<0時,方程x2+mx+m=0的判別式為: △=m2-4m>0,

令f′(x)>0,解得:x>,

令f′(x)<0,解得:0<x< ,

故m<0時,f(x)在(,+∞)遞增,在(0,)遞減;

(2)由(1)知,當(dāng)m>0時,函數(shù)f(x)在(0,+∞)遞增,

又[1,2](0,+∞),故f(x)在[1,2]遞增;

對任意x1<x2,都有f(x1)<f(x2), 故f(x2)-f(x1)>0,

由題意得:f(x2)-f(x1)<, 整理得:f(x2)-<f(x1)-,

令F(x)=f(x)-x2=-x2+mx+mlnx, 則F(x)在[1,2]遞減, 故F′(x)=,

當(dāng)x∈[1,2]時,-x2+mx+m≤0恒成立,即m≤,

令h(x)=,則h′(x)>0, 故h(x)在[1,2]遞增,

故h(x)∈[,], 故m≤

實(shí)數(shù)的最大值為.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】已知函數(shù)f(x)=ln2x-2aln(ex)+3,x∈[e-1,e2]

(1)當(dāng)a=1時,求函數(shù)f(x)的值域;

(2)若f(x)≤-alnx+4恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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【題目】已知命題在區(qū)間上是減函數(shù);

命題q:不等式無解。

若命題“”為真,命題“”為假,求實(shí)數(shù)m 的取值范圍。

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【題目】已知集合的元素個數(shù)為個且元素為正整數(shù),將集合分成元素個數(shù)相同且兩兩沒有公共元素的三個集合,即,,,,其中,,若集合中的元素滿足,,則稱集合完美集合例如:“完美集合,此時.若集合,為完美集合”,的所有可能取值之和為(

A.B.C.D.

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【題目】已知函數(shù).

(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;

(2)當(dāng)m=1時,若方程在區(qū)間上有唯一的實(shí)數(shù)解,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;

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【題目】已知曲線的極坐標(biāo)方程為,傾斜角為的直線過點(diǎn).

(1)求曲線的直角坐標(biāo)方程和直線的參數(shù)方程;

(2)設(shè),是過點(diǎn)且關(guān)于直線對稱的兩條直線,交于兩點(diǎn),交于, 兩點(diǎn). 求證:.

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【題目】已知定義域?yàn)?/span>,對任意、都有,當(dāng)時,,.

1)求;

2)證明:上單調(diào)遞減;

3)解不等式:.

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