Question

20．若函數(shù)f（x）在其圖象上存在不同的兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），其坐標(biāo)滿足條件：|x₁x₂+y₁y₂|-$\sqrt{{x_1}^2+y{{{\;}_1}^2}}•\sqrt{{x_2}^2+y{{{\;}_2}^2}}$的最大值為0，則稱f（x）為“柯西函數(shù)”，
則下列函數(shù)：
①f（x）=x+$\frac{1}{x}$（x＞0）；
②f（x）=lnx（0＜x＜3）；
③f（x）=2sinx；       
④f（x）=$\sqrt{2{x^2}-8}$．
其中為“柯西函數(shù)”的個(gè)數(shù)為（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 由柯西不等式得：對(duì)任意實(shí)數(shù)x₁，y₁，x₂，y₂，|x₁x₂+y₁y₂|-$\sqrt{{x_1}^2+y{{{\;}_1}^2}}•\sqrt{{x_2}^2+y{{{\;}_2}^2}}$≤0恒成立（當(dāng)且僅當(dāng)存在實(shí)數(shù)k，使得x₁=kx₂，y₁=ky₂取等號(hào)），若函數(shù)f（x）在其圖象上存在不同的兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），其坐標(biāo)滿足條件：|x₁x₂+y₁y₂|-$\sqrt{{x_1}^2+y{{{\;}_1}^2}}•\sqrt{{x_2}^2+y{{{\;}_2}^2}}$的最大值為0，則函數(shù)f（x）在其圖象上存在不同的兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），使得$\overrightarrow{OA}、\overrightarrow{OB}$共線，即存在點(diǎn)A、B與點(diǎn)O共線，逐一判定即可．

解答 解：由柯西不等式得：對(duì)任意實(shí)數(shù)x₁，y₁，x₂，y₂，|x₁x₂+y₁y₂|-$\sqrt{{x_1}^2+y{{{\;}_1}^2}}•\sqrt{{x_2}^2+y{{{\;}_2}^2}}$≤0恒成立（當(dāng)且僅當(dāng)存在實(shí)數(shù)k，使得x₁=kx₂，y₁=ky₂取等號(hào)），若函數(shù)f（x）在其圖象上存在不同的兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），其坐標(biāo)滿足條件：|x₁x₂+y₁y₂|-$\sqrt{{x_1}^2+y{{{\;}_1}^2}}•\sqrt{{x_2}^2+y{{{\;}_2}^2}}$的最大值為0，則函數(shù)f（x）在其圖象上存在不同的兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），使得$\overrightarrow{OA}、\overrightarrow{OB}$共線，即存在點(diǎn)A、B與點(diǎn)O共線；
對(duì)于①，方程kx=x+$\frac{1}{x}$（x＞0）不可能有兩解，故不存在；
對(duì)于②，f（x）=lnx（0＜x＜3）存在；
對(duì)于③，f（x）=2sinx存在；       
對(duì)于④，f（x）=$\sqrt{2{x^2}-8}$存在．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了新定義，關(guān)鍵是弄清新定義的含義，屬于中檔題．