Question

（本小題滿分12分）已知函數(shù)定義域為，若對于任意的，都有，且時，有.

（Ⅰ）證明函數(shù)是奇函數(shù)；

（Ⅱ）討論函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性；

（Ⅲ）設(shè)，若，對所有，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

（Ⅰ）奇函數(shù)；（Ⅱ）單調(diào)遞增函數(shù)；（Ⅲ）或.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）對于抽象函數(shù)的研究，往往用賦值法，即給變量賦予特殊值或特殊關(guān)系，奇偶性的判斷需從定義出發(fā)；（Ⅱ）單調(diào)性的研究也必須從定義出發(fā)；（Ⅲ）利用已經(jīng)得到的單調(diào)性，去掉函數(shù)法則符號，轉(zhuǎn)化為具體的不等式，然后再利用變更主元的思想方法求參數(shù)的范圍.

試題解析：（Ⅰ）因為有，

令，得，所以， 1分

令可得：

所以，所以為奇函數(shù). 3分

（Ⅱ）是定義在上的奇函數(shù)，由題意設(shè)，則

由題意時，有，

是在上為單調(diào)遞增函數(shù)； 7分

（Ⅲ）因為在上為單調(diào)遞增函數(shù)，

所以在上的最大值為， 8分

所以要使<，對所有恒成立，

只要，即， 9分

令

由 得，

或. 12分

考點：抽象函數(shù)及其性質(zhì)的綜合應(yīng)用.