Question

10．如圖，已知圓N：x²+（y+$\sqrt{5}$）²=36，P是圓N上的點，點Q在線段NP上，且有點D（0，$\sqrt{5}$）和DP上的點M，滿足$\overrightarrow{DP}$=2$\overrightarrow{DM}$，$\overrightarrow{MQ}$•$\overrightarrow{DP}$=0．
（1）當P在圓上運動時，求點Q的軌跡方程；
（2）若斜率為$\frac{3}{2}$的直線l與（1）中所求Q的軌跡交于不同兩點A、B，又點C（$\frac{4}{3}$，2），求△ABC面積最大值時對應的直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）當P在圓上運動時，利用橢圓的定義，求點Q的軌跡方程；
（2）△ABC的面積取到最大值問題，要先建立關于某個自變量的函數(shù)，后再求此函數(shù)的最大值即可．

解答 解：（1）由題意，MQ是線段DP的中垂線，∴|NP|=|NQ|+|QP|=|QN|+|QD|=6＞|DN|=2$\sqrt{5}$，
∴Q的軌跡是以D，N為焦點的橢圓，且c=$\sqrt{5}$，a=3，b=2，
∴求點Q的軌跡方程是$\frac{{y}^{2}}{9}+\frac{{x}^{2}}{4}$=1；
（2）設l：y=$\frac{3}{2}$x+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
與橢圓聯(lián)立，可得9x²+6mx+2m²-18=0，
x₁+x₂=-$\frac{2}{3}$m，x₁•x₂=$\frac{1}{9}$（2m²-18），
|AB|=$\sqrt{1+\frac{9}{4}}$•$\sqrt{\frac{4{m}^{2}}{9}-\frac{8（{m}^{2}-9）}{9}}$=$\sqrt{\frac{13}{9}（-{m}^{2}+18）}$，
C（$\frac{4}{3}$，2）到直線l的距離d=$\frac{2|m|}{\sqrt{13}}$，
S=$\frac{1}{2}|AB|d$=$\frac{1}{3}\sqrt{-{m}^{4}+18{m}^{2}}$，
∴m=±3時，S最大，此時直線l的方程為y=$\frac{3}{2}$x±3．

點評 本題考查了橢圓的定義及其性質、圓的性質、線段的垂直平分線的性質、直線與橢圓的位置關系、三角形面積的計算，考查了推理能力和計算能力，屬于中檔題．