Question

【題目】如圖，已知點(diǎn)為拋物線，點(diǎn)為焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，使得的重心在軸上，直線交軸于點(diǎn)，且在點(diǎn)右側(cè).記的面積為.

（1）求的值及拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）求的最小值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）1，；（2），.

【解析】

(1)由焦點(diǎn)坐標(biāo)確定p的值和準(zhǔn)線方程即可；

(2)設(shè)出直線方程，聯(lián)立直線方程和拋物線方程，結(jié)合韋達(dá)定理求得面積的表達(dá)式，最后結(jié)合均值不等式的結(jié)論即可求得的最小值和點(diǎn)G的坐標(biāo).

(1)由題意可得，則，拋物線方程為，準(zhǔn)線方程為.

(2)設(shè)，

設(shè)直線AB的方程為，與拋物線方程聯(lián)立可得：

，故：，

，

設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為，由重心坐標(biāo)公式可得：

，，

令可得：，則.即，

由斜率公式可得：，

直線AC的方程為：，

令可得：，

故，

且，

由于，代入上式可得：，

由可得，則，

則

.

當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立.

此時(shí)，，則點(diǎn)G的坐標(biāo)為.