Question

一個(gè)多面體的直觀圖和三視圖（主視圖、左視圖、俯視圖）如圖所示，M、N分別為A₁B、B₁C₁的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：MN∥平面ACC₁A₁；
（Ⅱ）求證：MN⊥平面A₁BC．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先根據(jù)題中的三視圖得到AC⊥BC，AC=BC=CC₁，然后連接AC₁和AB₁，再由直三棱柱的性質(zhì)得到四邊形ABB₁A₁為矩形，再由中位線定理可得到MN∥AC₁，最后根據(jù)線面平行的判定定理可證明MN∥平面ACC₁A₁．
（Ⅱ）先根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理可得到BC⊥AC₁，再根據(jù)A₁CA⊥AC₁，根據(jù)線面垂直的判定定理得到AC₁⊥平面A₁BC，最后根據(jù)MN∥AC₁，得MN⊥平面A₁BC，從而得證．
解答：解：由題意可知，這個(gè)幾何體是直三棱柱，且AC⊥BC，AC=BC=CC₁
（Ⅰ）連接AC₁，AB₁．
由直三棱柱的性質(zhì)得AA₁⊥平面A₁B₁C₁，所以AA₁⊥A₁B₁，
則四邊形ABB₁A₁為矩形．
由矩形性質(zhì)得AB₁過(guò)A₁B的中點(diǎn)M
在△AB₁C₁中，由中位線性質(zhì)得MN∥AC₁，
又AC_1^?平面ACC₁A₁，MN?平面ACC₁A₁，
所以MN∥平面ACC₁A₁
（Ⅱ）因?yàn)锽C⊥平面ACC₁A₁，AC₁?平面ACC₁A₁，
所以BC⊥AC₁
在正方形ACC₁A₁中，A₁C⊥AC₁
又因?yàn)锽C∩A₁C=C，所以AC₁⊥平面A₁BC
由MN∥AC₁，得MN⊥平面A₁BC
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查中位線定理、線面平行的判定定理和線面垂直的判定定理．考查對(duì)立體幾何基本定理的綜合應(yīng)用和空間想象能力．