Question

6．已知函數f（x）=$\frac{lnx+1}{{e}^{x}}$（e=2.71828…是自然對數的底數）．
（1）求f（x）的單調區(qū)間；
（2）設g（x）=x²f′（x），其中f′（x）為f（x）的導函數，證明：對任意x＞0，g（x）＜1+e^-2．

Answer 1

分析 （1）求出函數的定義域．f′（x），設k（x）=$\frac{1}{x}-lnx-1$，判斷k（x）在（0，+∞）上是減函數．然后通過f′（x）＞0，f′（x）＜0．即可f（x）的單調減區(qū)間，單調增區(qū)間．
（2）利用（1）推出當x＞1時，g（x）=x²f′（x）≤0＜1-e²，轉化證明g（x）＜1+e^-2．在0＜x＜1時成立．通過分類0＜x＜1時，構造設F（x）=1-xlnx-x，求出F（x）取得最大值1+e^-2．然后推出對任意x＞0，g（x）＜1+e^-2．

解答 解：（1）函數的定義域為：{x|x＞0}．f′（x）=$\frac{\frac{1}{x}-lnx-1}{{e}^{x}}$，
設k（x）=$\frac{1}{x}-lnx-1$，則$k′（x）=-\frac{1}{{x}^{2}}-\frac{1}{x}＜0$，即k（x）在（0，+∞）上是減函數．
由k（1）=0可知：當0＜x＜1時，k（x）＞0，
從而f′（x）＞0，
當x＞1時，k（x）＜0，
從而f′（x）＜0．
∴f（x）的單調增區(qū)間為（0，1）；單調減區(qū)間為（1，+∞）．
（2）由（1）可知，當x＞1時，g（x）=x²f′（x）≤0＜1-e²，
故只需證明g（x）＜1+e^-2．在0＜x＜1時成立．
當0＜x＜1時，e^x＞1，且g（x）＞0．
∴g（x）=$\frac{x（1-xlnx-x）}{{e}^{x}}$＜x（1-xlnx-x）＜1-xlnx-x，
設F（x）=1-xlnx-x，x∈（0，1），則F′（x）=-（lnx+2）．
當x∈（0，e^-2）時，F′（x）=-（lnx+2）＞0，
當x∈（e^-2，1）時，F′（x）=-（lnx+2）＜0，
當x=e^-2時，F（x）取得最大值1+e^-2．
∴g（x）＜F（x）≤1+e^-2
對任意x＞0，g（x）＜1+e^-2．

點評 本題考查函數的導數的綜合應用，函數的單調區(qū)間以及二次求導的應用，考查分析問題解決問題的能力．